Vollständige Induktion

Beweis vollständiger Induktion

\(\displaystyle\sum_{k=n}^{2n-1} \frac{1}{k} = \displaystyle\\ \)\(\displaystyle\sum_{k=1}^{2n-1} \frac{(-1)^{k+1}}{k} \displaystyle\\\)

Hallo Gweni,

muss statt

\(-1^{k+1}\ \ddot uber\ dem\ Bruchstrich\ nicht\ (-1)^{k+1}\)

stehen?

\(-1^{k+1}\ ist\ immer =-1.\)

Bitte gib uns bescheid.

Gruß

  !

Ich schaffe den Beweis folgender Induktion nicht:

\(\displaystyle\sum_{k=n}^{2n-1} \frac{1}{k} = \displaystyle\sum_{k=1}^{2n-1} \frac{{(-1)}^{k+1}}{k} \)

Für alle \(n \ge 1\)

Induktionsanfang:

\(n = 1:\)   linke Seite: \(\frac{1}{1} = 1 \)

                rechte Seite:   \(\frac{(-1)^2}{1} = 1\)

Für \(n=1 \) sind beide Seiten gleich!

Induktionsschluss:

\(n+1:\)

\(\begin{array}{|rcll|} \hline && \displaystyle\sum_{k=n+1}^{2(n+1)-1} \frac{1}{k} \\\\ &=& \displaystyle\sum_{k=n+1}^{2n+2-1} \frac{1}{k} \\\\ &=& \displaystyle\sum_{k=n+1}^{2n+1} \frac{1}{k} \\\\ &=& \displaystyle\sum_{k=n}^{2n-1} \left(\frac{1}{k} \right) -\frac{1}{n} +\frac{1}{2n} + \frac{1}{2n+1} \\\\ &\overset{I.A.}{=}& \displaystyle \sum_{k=1}^{2n-1} \left(\frac{{(-1)}^{k+1}}{k}\right) -\frac{1}{n} +\frac{1}{2n} + \frac{1}{2n+1} \\\\ &=& \displaystyle \sum_{k=1}^{2n-1} \left(\frac{{(-1)}^{k+1}}{k}\right) -\frac{1}{n}\left(1-\frac{1}{2}\right) + \frac{1}{2n+1} \\\\ &=& \displaystyle \sum_{k=1}^{2n-1} \left(\frac{{(-1)}^{k+1}}{k}\right) -\frac{1}{2n} + \frac{1}{2n+1} \\\\ &=& \displaystyle \sum_{k=1}^{2n-1} \left(\frac{{(-1)}^{k+1}}{k}\right) +\frac{(-1)^{2n+1}}{2n} + \frac{(-1)^{2n+1+1}}{2n+1} \\\\ &=& \displaystyle \sum_{k=1}^{2n} \left(\frac{{(-1)}^{k+1}}{k}\right) + \frac{(-1)^{2n+1+1}}{2n+1} \\\\ &=& \displaystyle \sum_{k=1}^{2n+1} \left(\frac{{(-1)}^{k+1}}{k}\right) \\\\ &=& \displaystyle \sum_{k=1}^{2n+2-1} \left(\frac{{(-1)}^{k+1}}{k}\right) \\\\ &=& \displaystyle \sum_{k=1}^{2(n+1)-1} \left(\frac{{(-1)}^{k+1}}{k}\right) \quad \checkmark \\\\ \hline \end{array}\)