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hat jemand links dazu oder eine erklärung, ich denke es ist nicht dasselbe?

 07.03.2019
 #1
avatar+8643 
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p-q-formel / quadratische Ergänzung

Hat jemand links dazu oder eine Erklärung, ich denke es ist nicht dasselbe?

 

Hallo Gast!

 

                                                      \(\color{blue}\large Quadratische\ Erg\ddot {a}nzung \)

\(x^2+px+q=0\)                        Allgemeine Form der quadr. Gleichung.

\(x^2+px=-q\)                            Konstante auf die rechte Seite.

                                                      Die quadratische Ergänzung ist \((\frac{p}{2})^2\).

                                                      Sie wird auf beiden Seiten der Gleichung addiert.

\(x^2+px+(\frac{p}{2})^2=(\frac{p}{2})^2-q\)   Der Term links passt zur 1. binomischen Formel.

\((x+\frac{p}{2})^2=(\frac{p}{2})^2-q\)               Wurzel ziehen.

\(\sqrt {(x+\frac{p}{2})^2}=\sqrt{(\frac{p}{2})^2-q}\)

\(x_{1,2}+\frac{p}{2}=\pm \sqrt{(\frac{p}{2})^2-q}\)       \(\frac{p}{2}\)  nach rechts

\(\color{blue}x_{1,2}=-\frac{p}{2}\pm \sqrt{(\frac{p}{2})^2-q}\)       \(\color{blue}\large p-q-Formel\)

 

Die quadratische Ergänzung der allgemeinen Form der quadratischen Gleichung ergibt die p-q-Formel.

laugh  !

 07.03.2019
 #2
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+1

Danke, aber wie wende ich das an bei

 

\(x^2+6x=10\)

was ja dasselbe ist wie

\(x^2+6x-10=0\)

 

ich stehe wieder auf dem Schlauch crying

 09.03.2019
 #3
avatar+8643 
+1

Quadratische Ergänzung

Wie wende ich das an bei

\(x^2+6x=10\)

was ja dasselbe ist wie

\(x^2+6x-10=0\)

 

 

Hallo Gast!

 

Zur Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die quadratische Gleichung in ihrer Normalform dargestellt werden. Die Normalform mit allgemeinen Variablen und Konstanten sieht so aus:

\(x^2+px+q=0\)

Zuerst musst Du Deine Gleichung in diese Form bringen. Alles kommt auf die linke Seite, rechts bleibt Null.

Also, wie Du richtig erkannt hast:

\(x^2+6x=10\)

wird zu

\(x^2+6x-10=0\)

Du vergleichst diese Gleichung mit p-q-Normalform und bestimmst p:

\(p=6\)          \(q=-10\)

Die quadratische Ergänzung ist \((\frac{p}{2})^2\ (immer\ !)\)

\((\frac{p}{2})^2=(\frac{6}{2})^2=9\)

Sie wird auf beiden Seiten der Gleichung addiert.

\(x^2+6x-10=0\\ x^2+6x\ {\color{blue}+\ 9}-10=\color{blue}\ 9\)

 

Jetzt wird nach der 1. binomischen Formel   [ \(a^2+2ab+b^2=(a+b)^2\) ]

\(x^2+6x\ {\color{blue}+\ 9}=\)   \((x+3)^2\)

 

\(\color{blue}(x+3)^2-10=9 \)          Weiter wie gehabt:

\((x+3)^2=19\\ \sqrt{(x+3)^2}=\sqrt{19}\\ x+3=\pm\sqrt{19}\\ x=-3\pm\sqrt{19}\\ \color{blue}x_1=1,359\\ \color{blue}x_2=-7,359\)

 

laugh  !

 09.03.2019
bearbeitet von asinus  09.03.2019
bearbeitet von asinus  10.03.2019

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