hat jemand links dazu oder eine erklärung, ich denke es ist nicht dasselbe?
+14993 p-q-formel / quadratische Ergänzung
Hat jemand links dazu oder eine Erklärung, ich denke es ist nicht dasselbe?
Hallo Gast!
\(\color{blue}\large Quadratische\ Erg\ddot {a}nzung \)
\(x^2+px+q=0\) Allgemeine Form der quadr. Gleichung.
\(x^2+px=-q\) Konstante auf die rechte Seite.
Die quadratische Ergänzung ist \((\frac{p}{2})^2\).
Sie wird auf beiden Seiten der Gleichung addiert.
\(x^2+px+(\frac{p}{2})^2=(\frac{p}{2})^2-q\) Der Term links passt zur 1. binomischen Formel.
\((x+\frac{p}{2})^2=(\frac{p}{2})^2-q\) Wurzel ziehen.
\(\sqrt {(x+\frac{p}{2})^2}=\sqrt{(\frac{p}{2})^2-q}\)
\(x_{1,2}+\frac{p}{2}=\pm \sqrt{(\frac{p}{2})^2-q}\) \(\frac{p}{2}\) nach rechts
\(\color{blue}x_{1,2}=-\frac{p}{2}\pm \sqrt{(\frac{p}{2})^2-q}\) \(\color{blue}\large p-q-Formel\)
Die quadratische Ergänzung der allgemeinen Form der quadratischen Gleichung ergibt die p-q-Formel.
!
Danke, aber wie wende ich das an bei
\(x^2+6x=10\)
was ja dasselbe ist wie
\(x^2+6x-10=0\)
ich stehe wieder auf dem Schlauch 
+14993 Quadratische Ergänzung
Wie wende ich das an bei
\(x^2+6x=10\)
was ja dasselbe ist wie
\(x^2+6x-10=0\)
Hallo Gast!
Zur Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die quadratische Gleichung in ihrer Normalform dargestellt werden. Die Normalform mit allgemeinen Variablen und Konstanten sieht so aus:
\(x^2+px+q=0\)
Zuerst musst Du Deine Gleichung in diese Form bringen. Alles kommt auf die linke Seite, rechts bleibt Null.
Also, wie Du richtig erkannt hast:
\(x^2+6x=10\)
wird zu
\(x^2+6x-10=0\)
Du vergleichst diese Gleichung mit p-q-Normalform und bestimmst p:
\(p=6\) \(q=-10\)
Die quadratische Ergänzung ist \((\frac{p}{2})^2\ (immer\ !)\)
\((\frac{p}{2})^2=(\frac{6}{2})^2=9\)
Sie wird auf beiden Seiten der Gleichung addiert.
\(x^2+6x-10=0\\ x^2+6x\ {\color{blue}+\ 9}-10=\color{blue}\ 9\)
Jetzt wird nach der 1. binomischen Formel [ \(a^2+2ab+b^2=(a+b)^2\) ]
\(x^2+6x\ {\color{blue}+\ 9}=\) \((x+3)^2\)
\(\color{blue}(x+3)^2-10=9 \) Weiter wie gehabt:
\((x+3)^2=19\\ \sqrt{(x+3)^2}=\sqrt{19}\\ x+3=\pm\sqrt{19}\\ x=-3\pm\sqrt{19}\\ \color{blue}x_1=1,359\\ \color{blue}x_2=-7,359\)
!
