Hallo, ich übe gerade freiwllig Mathe und würde gerne gucken, ob ich die Aufgaben richtig gelöst hab! Ich bedanke mich im voraus!
Das Robert-Koch-Institut in Berlin hat den Verlauf des Ausbruchs einer Darmenerkrankung, verursacht durch "EHEC" untersucht. Die Zahl der Erkrankten A kann näherungsweise durch folgende Funktionsglecihung dargestellt werden: A(t)= -1/125t^3+1/5t^2
Die Erfassung der Erkrankten beginnt zum Zeitpunkt t=0. t gibt die Zeit in Tagen, A(t) die Anzahl der Erkrankten zum Zeitpunkt t an.
1) Berechnen Sie den Zeitraum, an dem mehr als 12 Personen an einer EHEC-Infektion erkrankt waren.
2) Brechnen Sie den Tag, an dem die Epidemie vorbei ist.
3) Berechnen Sie den Zeitpunkt, an dem die meisten Personen krank waren. Berechnen Sie auch die Zahl der Erkrankten zu diesem Zeitpunkt.
4) Berechnen Sie den Zeitpunkt, an dem die Zahl der Erkrankten am stärksten anstieg.
5) Berechnen Sie, wann die Zahl der Erkrankten um genau eine Person pro Tag anstieg
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1) A(t)=12 setzen 10< t < 21,86... die Kurve liegt oberhalb von y = 12
2) A(t)=0 setzen Nullstelle berechnen
3) A'(t)=0 t in A(t) einsetzen und den Hochpunkt berechnen
4) A''(t)=0 Wendestelle berechnen. Im Wendepunkt ist die Steigung der Tangente am größten.
5) Die Tangente(n) an die Kurve muss(müssen) an dieser(n) Stelle(n) die Steigung 1 haben. t1 1st ungefähr 13,6 h und t2 ist etwa bei 3,06 h. A'(x)=1
+301 Also, mir schafft die erste Aufgabe Probleme.
Aufgabe 1:
Formel: \(A(t) = -\frac{1}{125}t^3+\frac{1}{5}t^2\)
Aufgabe: A(t) soll = 12 sein.
\(12 = -\frac{1}{125}t^3+\frac{1}{5}t^2\)
Das Problem, das ich bei der Sache habe ist, dass mir irgendwie das mathematische Werkzeug fehlt, um die ganzen t-Potenzen weg zu kriegen.
Der ersteGrenzwert ist 10, das kann man irgendwie auch am Graphen sehen und dann durch einsetzen überprüfen:
\(12=-\frac{1}{125}*10^3+\frac{1}{5}*10^2 \\ \\ 12=-\frac{1}{125}*1000+\frac{1}{5}*100 \\ \\ 12=-\frac{1000}{125}+\frac{100}{5} \\ \\ 12=-8+20\\ \\ 12=12\)
Das ist ja aber nicht der "korrekte" Weg, so einen Wert heraus zu bekommen. Ich hab mich gefragt, ob man das Ganze mit einer Polynomdivision irgendwie zerlegen könnte, aber ich glaub da bin ich auf dem falschen Dampfer.
Interpolation wäre vielleicht ein Weg, der einen recht sicher ans Ziel führt. Dabei setzt man einen Wert ein, und schaut, was dabei raus kommt (also zum Beispiel 4). Wenn der Wert zu klein ist, nimmt man einen größeren. Ist der Wert zu groß (also zum Beispiel bei 11), nimmt man einen kleineren.
Bei dieser Aufgabe kommt aber hinzu, dass es 2 Stellen gibt, an denen A(t) = 12 ist. die zweite ist, wie schon richtig festgestellt wurde, ungefähr bei 21, 86. Dazwischen gibt es mehr als 12 Erkrankte.
Bei bestimmten Aufgaben kenn ich das mit dem ersetzen einer höheren Potenz durch eine kleinere, also \(f(x)=x^4-x^2\\ x^2=z\\ f(z)=z^2-z\)
Aber gibt es einen Weg, der in der Schule gelehrt wird, mit dem man \(12 = -\frac{1}{125}t^3+\frac{1}{5}t^2\) nach t auflösen kann, um die beiden exakten Werte für t zu bestimmen ?
Ich kenne eine Variante der Aufgabe 1, wie sie bei Aufgabe 2 verlangt wird:
Aufgabe 2:
Formel: \(A(t) = -\frac{1}{125}t^3+\frac{1}{5}t^2\)
Aufgabe: A(t) soll 0 sein.
\(A(t) = -\frac{1}{125}t^3+\frac{1}{5}t^2 \\ 0 = -\frac{1}{125}t^3+\frac{1}{5}t^2 \space\space\space|:t^2\\ \frac{0}{t^2}= -\frac{1}{125}t+\frac{1}{5}\\ 0=-\frac{1}{125}t+\frac{1}{5}\space\space\space|-\frac{1}{5}\\ -\frac{1}{5}=-\frac{1}{125}t\space\space\space|:(-\frac{1}{125})\\ -\frac{1}{5}*(-\frac{125}{1})=t\\ \frac{125}{5}=t\\ 25=t\)
Da fällt ja wegen der 0 einfach mal ein t² weg. Das macht die Sache sehr einfach.
