2n+1=

2n+1=

für alle n>=4

Mit vollständiger Induktion.

Komplettlösung ist wie folgt:

Induktionsanfang: Für n=4:  2*4+1 = 9 =< 4^2 = 16 = 2^4

Induktionsannahme: Für ein n => 4 gilt 2n+1 =

Induktionsschritt: Zu zeigen ist 2(n+1)+1 =< (n+1)^2 =< 2^(n+1)

2(n+1)+1=2n+3=2n+1+2 =< n^2+2               (mit Induktionsannahme)

                                       =< n^2+2+(2n-1)    (da n=>4 ist 2n-1=>0)

                                       =< n^2+2n+1=(n+1)^2

also ist 2(n+1)+1=<(n+1)^2.

Weiter ist

(n+1)^2 = n^2+2n+1= <2^n+2n+1                (mit Induktionsannahme)

                               = <2^n+2^n                   (wieder mit Induktionsannahme 2n+1=<2^n)

                               = 2*2^n = 2^(n+1)

also ist (n+1)^2 =< 2^(n+1) und insgesamt 2(n+^1)+1=<(n+1)^2=<2^(n+1).

Mit dem Prinzip der vollständigen Induktion ist die Behauptung bewiesen.

Jetzt meine Frage:

Woher kommt das (2n-1)  in der 2ten Zeile oben(Fett und unterstrichen)

Dank euch