2n+1=
für alle n>=4
Mit vollständiger Induktion.
Komplettlösung ist wie folgt:
Induktionsanfang: Für n=4: 2*4+1 = 9 =< 4^2 = 16 = 2^4
Induktionsannahme: Für ein n => 4 gilt 2n+1 =
Induktionsschritt: Zu zeigen ist 2(n+1)+1 =< (n+1)^2 =< 2^(n+1)
2(n+1)+1=2n+3=2n+1+2 =< n^2+2 (mit Induktionsannahme)
=< n^2+2+(2n-1) (da n=>4 ist 2n-1=>0)
=< n^2+2n+1=(n+1)^2
also ist 2(n+1)+1=<(n+1)^2.
Weiter ist
(n+1)^2 = n^2+2n+1= <2^n+2n+1 (mit Induktionsannahme)
= <2^n+2^n (wieder mit Induktionsannahme 2n+1=<2^n)
= 2*2^n = 2^(n+1)
also ist (n+1)^2 =< 2^(n+1) und insgesamt 2(n+^1)+1=<(n+1)^2=<2^(n+1).
Mit dem Prinzip der vollständigen Induktion ist die Behauptung bewiesen.
Jetzt meine Frage:
Woher kommt das (2n-1) in der 2ten Zeile oben(Fett und unterstrichen)
Dank euch
(n + 1)2 = n2 + 2n + 1
= n2 + 1 +1 + 2n -1
= n2 + 2 +(2n - 1)
Zur grünen 1 wurde die rote 1 addiert. Damit der Wert des Terms erhalten bleibt, wurde sie hinten wieder abgezogen.
Rechne den Term mal aus.
n2 + 2 + 2n - 1 = n2 + 1 + 2n = n2 + 2n +1