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2n+1=

für alle n>=4

 

Mit vollständiger Induktion.

Komplettlösung ist wie folgt:

 

Induktionsanfang: Für n=4:  2*4+1 = 9 =< 4^2 = 16 = 2^4

Induktionsannahme: Für ein n => 4 gilt 2n+1 =

Induktionsschritt: Zu zeigen ist 2(n+1)+1 =< (n+1)^2 =< 2^(n+1)

 

2(n+1)+1=2n+3=2n+1+2 =< n^2+2               (mit Induktionsannahme)

                                       =< n^2+2+(2n-1)    (da n=>4 ist 2n-1=>0)

                                       =< n^2+2n+1=(n+1)^2

also ist 2(n+1)+1=<(n+1)^2.

 

Weiter ist

(n+1)^2 = n^2+2n+1= <2^n+2n+1                (mit Induktionsannahme)

                               = <2^n+2^n                   (wieder mit Induktionsannahme 2n+1=<2^n)

                               = 2*2^n = 2^(n+1)

also ist (n+1)^2 =< 2^(n+1) und insgesamt 2(n+^1)+1=<(n+1)^2=<2^(n+1).

Mit dem Prinzip der vollständigen Induktion ist die Behauptung bewiesen.

 

Jetzt meine Frage:

Woher kommt das (2n-1)  in der 2ten Zeile oben(Fett und unterstrichen)

 

Dank euch

 05.03.2020
bearbeitet von Gast  05.03.2020
 #1
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(n + 1)2 = n2 + 2n + 1

             = n2 + 1 +1 + 2n -1  

             = n2 + 2 +(2n - 1)

Zur grünen 1 wurde die rote 1 addiert. Damit der Wert des Terms erhalten bleibt, wurde sie hinten wieder abgezogen.

Rechne den Term mal aus.

n2 + 2 + 2n - 1 = n2 + 1 + 2n = n2 + 2n +1

 

laugh

 06.03.2020
bearbeitet von Gast  06.03.2020
bearbeitet von Gast  06.03.2020

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