heureka

Rechnet man in der Vermessungstechnik  alles  in  Gon?

Ja

wiso ist 3^100000 mod 5 = 1

$$\small{\text{ F}} \ddot{u} \small{\text{r }} 3^{100000} \mod 5 \small{\text{ kann man auch schreiben }}\\ 3^{(2*500000)} \mod 5\\ = 3^{2*(500000)} \mod 5 \\ = 9^{(500000)} \mod 5 \\ \small{\text{ F}} \ddot{u} \small{\text{r die 9 kann man auch 4 schreiben, da }} 9 \mod 5 = 4 \mod 5 \small{\text{ ist. }} \\ \small{\text{ F}} \ddot{u} \small{\text{r die 4 kann man auch -1 schreiben, da }} 4 -5 \mod 5 = -1 \mod 5 \small{\text{ ist. }} \\ = 9^{(500000)} \mod 5 = -1^{(500000)} \mod 5 \\ \small{\text{ F}} \ddot{u} \small{\text{r }} (-1)^{(500000)} \small{\text{ kann man auch }} 1^{(500000)} \small{\text{ schreiben, da der Exponent geradzahlig ist. Und }} \\ 1^{(500000)} \small{\text{ist ja nichts anderes als 1. Also }} 1 \mod 5 \\ \boxed{3^{100000} = 1 \mod 5}$$

3^x+x = √3

Solution with iteration: $$3^x = \sqrt{3} - x \quad | \quad \ln{()} \\\\ x\ln{(3)} = \ln{ ( \sqrt{3} - x ) } \\\\ \textcolor[rgb]{1,0,0}{\boxed{x_{new} = \dfrac{ \ln{ ( \sqrt{3} - x_{old} ) } }{\ln{(3)} } } }\\\\ x_{old} \small{\text{ starts with 1} } }$$

$$\begin{array}{r|l|r} \hline n & x_{new} & x_{old}\\ \hline 1 & -0.28390849201 & 1 \\ 2 & 0.63816431742 & -0.28390849201 \\ 3 & 0.08168208459 & 0.63816431742 \\ 4 & 0.45602869783 &0.08168208459 \\ 5 & 0.22186854696 &0.45602869783 \\ 6 & 0.37522823128 &0.22186854696 \\ 7 & 0.27775551797 & 0.37522823128 \\ 8 & 0.34090411159 & 0.27775551797 \\ 9 & 0.30049579054 & 0.34090411159 \\ 10 & 0.32655858818 &0.30049579054 \\ 11 & 0.30983412349 & 0.32655858818 \\ 12 & 0.32060145623 & 0.30983412349 \\ 13 & 0.31368398912 & 0.32060145623 \\ 14 & 0.31813414565 &0.31368398912 \\ 15 & 0.31527376081 & 0.31813414565 \\ 16 & 0.31711333488 & 0.31527376081 \\ 17 & 0.31593069256 & 0.31711333488 \\ 18 & 0.31669117690 & 0.31593069256 \\ 19 & 0.31620222924 & 0.31669117690 \\ 20 & 0.31651662459 & 0.31651662459 \\ 21 & 0.31631447956 & 0.31651662459 \\ 22 & 0.31644445678 & 0.31631447956 \\ 23 & 0.31636088486 & 0.31644445678 \\ 24 & 0.31641462028 & 0.31636088486 \\ 25 & 0.31638006963 & 0.31641462028 \\ 26 & 0.31640228506 & 0.31638006963 \\ 27 & 0.31638800101 & 0.31640228506 \\ 28 & 0.31639718538 & 0.31638800101 \\ 29 & 0.31639128001 & 0.31639718538 \\ 30 & 0.31639507705 & 0.31639128001 \\ 31 & 0.31639263563 & 0.31639507705 \\ 32 & 0.31639420541 & 0.31639263563 \\ 33 & 0.31639319608 &0.31639420541 \\ 34 & 0.31639384506 &0.31639319608 \\ 35 & 0.31639342778 & 0.31639384506 \\ 36 & 0.31639369608 & 0.31639342778 \\ 37 & 0.31639352357 & 0.31639369608 \\ 38 & 0.31639363449 & 0.31639352357 \\ 39 & 0.31639356317 & 0.31639363449 \\ 40 & 0.31639360903 & 0.31639356317 \\ 41 & 0.31639357954 & 0.31639360903 \\ 42 & 0.31639359850 & 0.31639357954 \\ 43 & 0.31639358631 & 0.31639359850 \\ 44 & 0.31639359415 & 0.31639358631 \\ 45 & 0.31639358911 & 0.31639359415 \\ 46 & 0.31639359235 & 0.31639359235 \\ 47 & 0.31639359026 & 0.31639359235 \\ 48 & 0.31639359160 & 0.31639359026 \\ 49 & 0.31639359074 & 0.31639359160 \\ 50 & 0.31639359130 & 0.31639359130 \\ 51 & 0.31639359094 & 0.31639359130 \\ 52 & 0.31639359117 & 0.31639359094 \\ 53 & 0.31639359102 & 0.31639359117 \\ 54 & 0.31639359112 & 0.31639359102 \\ 55 & 0.31639359106 & 0.31639359112 \\ 56 & 0.31639359109 & 0.31639359106 \\ 57 & 0.31639359107 & 0.31639359109 \\ 58 & 0.31639359109 & 0.31639359107 \\ 59 & 0.31639359108 & 0.31639359109 \\ 60 & 0.31639359108 & 0.31639359108 \\ ... & ... & ... \\ \hline\end{array}$$

$$\boxed{x= 0.31639359108 }$$

$$\\ f(x) = \frac{ \ln \left( \sqrt{3} - x \right) } {\ln{(3)}} \\ g(x) = x \\ \\ \small{\text{ We set }} f(x) = g(x) \small{\text{ and iterate the cut between line and our function. }}$$

The convergence is given if the derivation $$\boxed{|f'(x_{Start})| < 1}$$

$$\\ f(x) = \frac{ \ln \left( \sqrt{3} - x \right) } {\ln{(3)}} \\\\ f'(x) = \frac{1}{\ln{(3)}} * \frac{(-1)}{ \left( \sqrt{3} - x \right) }$$

x=25-7y

(25-7y)²+y²=25  okay

$$\underbrace{(25-7y)^2}_{=25^2-2*25*7*y+49y^2}+y^2=25 \\\\ 25^2-2*25*7*y+49y^2+y^2=25 \\\\ 50y^2-50*7*y + 625 - 25 = 0 \\ \\ 50y^2-50*7*y + 600= 0 \quad | \quad : 50\\ \\ y^2-7*y + 12= 0 \\ \\ y_{1,2}= \frac{7\pm\sqrt{49-4*12} }{2} \\ \\ y_{1,2}= \frac{7\pm\sqrt{49-48} }{2} \\ \\ y_{1,2}= \frac{7\pm 1}{2} \\ \\ y_1 = \frac{7 +1}{2} = \frac{8}{2} = 4 \qquad x_1 = 25 - 7*4 = -3\\ \\ y_2 = \frac{7 -1}{2} = \frac{6}{2} = 3 \qquad x_2 = 25 - 7*3 = 4\\ \\$$

x²+y²=25 x+7y=25   x=? y=?

$$\\\boxed{x^2+y^2=25} \small{\text{ is a circle }}\\ \boxed{x+7y=25} \small{\text{ is a line}}\\$$

$$\small{\text{The line cut the circle in 2 Points.}} \\ \small{\text{Point 1 is ( x=4, y=3) }}\\ \small{\text{Point 2 is ( x=-3, y=4) }}\\$$

Write an expression for the n^th term of the sequence, 6, -2, -10, -18….

$$\boxed{a_n=a_1+(n-1)*d}\\\\ a_1=6 \small{\text{ and }} d=-8 \\\\ a_n = 6 + (n-1)*(-8) \\ a_n = 6 -8n +(-1)*(-8) \\ a_n = 6 -8n + 8 \\ a_n = 14 - 8n\\ \boxed{a_n = -8n + 14 }$$

So $$\textcolor[rgb]{1,0,0}{B)}$$  is correct.

There are 35 rabbits and birds combined in one cage. There are 94 legs in the cage. How may rabbits and how many birds are there?

$$\begin{array}{lrcrcl} (1)& \quad \small{\text{ rabbits } & +& \small{\text{ birds }} &= & 35 \\\\ \hline \\ & \quad 4* \small{\text{ rabbits } &+& 2* \small{\text{ birds }} &=& 94 \quad | \quad :2\\\\ (2) & \quad 2* \small{\text{ rabbits } &+& \small{\text{ birds }} &=& 47 \\\\ \hline \\ (2)-(1): &2* \small{\text{ rabbits }-\small{\text{ rabbits } &+& \small{\text{ birds }} -\small{\text{ birds }} &=& 47-35\\\\ &\small{\text{ rabbits } } &+& 0 &=&12 \\\\ &\small{\text{ rabbits } }&& &=&12 \end{array}\\ \boxed{\small{\text{ rabbits } } =12 } \\ \begin{array}{lrcrcl} (1) & \small{\text{ rabbits } }&+& \small{\text{ birds }} &=& 35 \\ & 12 & + & \small{\text{ birds }} & = & 35 \qquad | \quad -12 \\ & & & \small{\text{ birds }} & = & 35-12 \\ & && \small{\text{ birds }} & = & 23 \end{array} \\ \boxed{birds = 23}$$

Eine Leuchtkugel fliegt vom Punkt P (4|0|0) geradlinig in richtung des Punktes Q (0|0|3). Eine zweite Leuchtkugel startet gleichzeitig vom Punkt R(0|3|0) und fliegt gradlinig in Richtung des Punktes T(0|0|7) (gleich schnell). Wie weit sind die Kuglen zu dem Zeitpunkt voneinander entfernt ,bei dem die erste Kugel Punkt Q erreicht ? Dieses ist eine Klausurübungsaufgabe aber ich komme leider nicht damit klar.

Ich weiß dass es etwas mit Gradenberechnung und oder Einheitsvektor zu tuen hat aber nachdem ich diese ausgerechnet habe weiß ich leider nicht mehr weiter.

$$\small{\text{Kugel 1 fliegt von }} P (4|0|0)\small{\text{ nach }} Q (0|0|3) \small{\text{. Das ist eine Strecke }} s_1 = | P(4|0|0) -Q (0|0|3)| = | (4-0|0-0|0-3)|=|(4|0|-3)| = \sqrt{4^2+0^2+(-3)^2} = \sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5$$

$$\small{\text{Kugel 2 fliegt von }} R(0|3|0)\small{\text{ nach }} T(0|0|7) \small{\text{. Das ist eine Strecke }} s_2 = | T(0|0|7) -R(0|3|0) | = | (0-0|0-3|7-0)|=|(0|-3|7)| = \sqrt{0^2+(-3)^2+7^2} = \sqrt{9+49}=\sqrt{58}=7.61577310586$$

$$\small{\text{Wenn die Kugel 1 die Strecke }} s_1 \small{\text{ geflogen ist, also ihren Punkt Q erreicht hat,}} \\ \small{\text{ hat auch die Kugel 2 die Strecke }} s_1 \small{\text{ zur} \ddot{u}\small{\text{ckgelegt. }}$$

$$\small{\text{ Die Geradengleichung der Kugel 2 lautet: }} \vec{x} = \vec{R} + \lambda( \vec{T}-\vec{R} ) \\ \vec{T}-\vec{R} =T(0|0|7) -R(0|3|0) = (0-0|0-3|7-0)= (0|-3|7)\\ \lambda \small{\text{ ist auch das Verh}}\ddot{a}\small{\text{ltnis von zur}}\ddot{u}\small{\text{ckgelegter Strecke zur Gesamtstrecke. }}\\\lambda =\frac{s_1}{s_2}= \frac{5}{\sqrt{58} }=0.65653216430 \small{\text{ . Die Kugel 2 hat dann den Punkt X: }} \\ \vec{x} = R(0|3|0)+\frac{5}{ \sqrt{58} } *(0|-3|7) \small{\text{ erreicht. }} \\ \vec{x} = \left(\begin{array}{c} 0 + \frac{5}{ \sqrt{58} } * 0\\ 3 + \frac{5}{ \sqrt{58} } * (-3)\\ 0 + \frac{5}{ \sqrt{58} } * 7 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 0 \\ 3 - \frac{15}{ \sqrt{58} } \\ \frac{35}{ \sqrt{58} } \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 0 \\ 1.03040350710 \\ 4.59572515009 } \end{array}\right)\\\\ \small{\text{ Die Entfernung }} \overline{QX} \small{\text{ zum Punkt Q ist dann }} \\ \overline{QX} = | Q (0|0|3) -X (0|1.03040350710 |4.59572515009 )| = | (0-0|0-1.03040350710 |3-4.59572515009 )|=|(0|-1.03040350710 | -1.59572515009)| = \sqrt{0^2+(-1.03040350710 )^2+(-1.59572515009)^2} = \sqrt{3.60807014208}=1.89949207476$$

a c ountrys population in 1991 was 231 million. in 1999 it was 233 million. estimate the population in 2003 using the exponetial growth formula. round your answer to the nearest million.

$$\begin{array}{rcl} (1) \quad p(1991) = 231 &=& p_0 * e^{\lambda*1991}\\ (2) \quad p(1999) = 233 &=& p_0 * e^{\lambda*1999} \\ \hline \end{array}\\\\ (2):(1) \begin{array}{rcl} \frac{233}{231} &=& \frac{ \not{p_0} * e^{\lambda*1999} } {\not{p_0} * e^{\lambda*1991} }\\\\ \frac{233}{231}& = &e^{\lambda*1999-\lambda*1991} = e^{8\lambda}\\\\ \ln{(\frac{233}{231})&=& 8\lambda} \\\\ \lambda &=& \frac{ \ln{(\frac{233}{231} )} } {8} \\\\ \textcolor[rgb]{1,0,0}{ \lambda = 0.00107759288 } \end{array}\\$$

$$\\p_0 = \dfrac{231}{ e^{\lambda*1991} } = \dfrac{231}{ e^{0.00107759288*1991} } \\\\ \textcolor[rgb]{1,0,0}{p_0= 27.0295384716}$$

exponetial growth formula: $$\boxed{p(year) = 27.0295384716 * e^{ 0.00107759288 * year}}$$

$$\\p(\textcolor[rgb]{1,0,0}{2003}) = 27.0295384716 * e^{ 0.00107759288 * \textcolor[rgb]{1,0,0}{2003} }\\\\ p(2003)= 27.0295384716 * e^{2.15841853962}\\\\ p(2003)= 27.0295384716 * 8.65743543541\\\\ p(2003)= 234.006484167\\\\ \boxed{p(2003)\approx 234 \ Million}$$