Welchen einmaligen Betrag muss ein Lotteriegewinner in ein Sparkonto mit einem Zinssatz von 3,9 % p.a. einzahlen, um anschließend 25 Jahre lang jeweils am Jahresende 48000€ davon abheben zu können?
Wieviel € sollte die Anlagesumme betragen?(auf den Cent genau)
What amount does a lottery winner have to pay into a savings account with an interest rate of 3.9% pa and then be able to withdraw 48,000 € for 25 years at the end of the year?
How much € should the amount be? (To the cent exactly)
Sei C = 48000 €
Sei der Zinssatz = i = 3.9 %
Sei die Anzahl der Jahre = n
Sei das Anfangskapital = K
Das Kapital nach dem 1. Jahr beträgt:
K⋅(1+i)−C
Das Kapital nach dem 2. Jahr beträgt:
[K⋅(1+i)−C]⋅(1+i)−C=K⋅(1+i)2−C⋅(1+i)−C=K⋅(1+i)2−C⋅[1+(1+i)]
Das Kapital nach dem 3. Jahr beträgt:
(K⋅(1+i)2−C⋅[1+(1+i)])⋅(1+i)−C=K⋅(1+i)3−C⋅[1+(1+i)+(1+i)2]
Das Kapital nach dem n. Jahr beträgt:
=K⋅(1+i)n−C⋅[1+(1+i)+(1+i)2+…+(1+i)n−1⏟=(1+i)n−1i]=K⋅(1+i)n−C⋅((1+i)n−1i)
Das Kapital beträgt am Ende 0 €:
0 €=K⋅(1+i)n−C⋅((1+i)n−1i)K⋅(1+i)n=C⋅((1+i)n−1i)K=C⋅((1+i)n−1i⋅(1+i)n)K=C⋅((1+i)n(1+i)n−1(1+i)ni)K=C⋅(1−(1+i)−ni)This is exact the Formula from Melody - Dies ist genau die Formel von Melody
Wir setzen ein:
K=C⋅(1−(1+i)−ni)|i=3.9%n=25 JahreC=48000 €=48000⋅(1−(1+3.9%)−253.9%)=48000⋅(1−1.039−250.039)=48000⋅(1−0.384247730490.039)=48000⋅(0.615752269510.039)=48000⋅15.7885197311=757848.947094 €
Der Lotteriegewinner muss 757 848.95 € in ein Sparkonto einzahlen.
The lottery winner have to pay into a savings account about 757 848.95 €
