Beweise durch vollständige Induktion, dass für n groß genug (wie groß ?) gilt n^3<2^n {nl} Vielleicht könnt ihr mir helfen. {nl} Durch ausprobieren bin ich auf n>=10 gekommen, aber mit der vollständigen induktion bin ich mir nicht sicher.
\(\boxed{ \begin{array}{lcrclrcl} \text{Induktionsanfang}&:& ~10^3 &=& 1000 &\qquad 2^{10} &=& 1024. \\\\ \text{Induktionsbehauptung}&: &n^3 &<& 2^n &\qquad ~ n &\ge& 10 \\\\ \text{Induktionsschritt}&: &(n+1)^3 &<& 2^{n+1} \end{array} }\)
Induktionsschluss:
\(\begin{array}{lcll} 2^{n+1} &=&2^{n}\cdot 2 \qquad & \boxed{~\text{Induktionsbehauptung}~ n^3 < 2^n ~}\\ &<&n^3\cdot 2\\ &=& n^3+n^3\\ &\le&n^3+10n^2 \qquad & \boxed{~n^3\ge10n^2 \\ \quad 10^3 = 10\cdot 10^2 \\ \quad 11^3 > 10\cdot 11^2 \\ \dots ~}\\ &=& n^3+3n^2+7n^2\\ &\le&n^3+3n^2+70n \qquad & \boxed{~7n^2\ge 70n \\ \quad 7\cdot 10^2 = 70\cdot 10=700 \\ \quad 7\cdot 11^2 > 70\cdot 11=7\cdot 10\cdot 11 \\ \dots ~}\\ &=& n^3+3n^2+3n+67n\\ &<&n^3+3n^2+3n+1 \qquad & \boxed{~ 67n>1 \\ \quad 67\cdot 10 > 1 \\ \quad 67\cdot 11 > 1 \\ \dots ~}\\ &=& (n+1)^3\\ \end{array}\)
