asinus

Nullstellen einer Funktion aus Produkten von Termen mit der Variablen x.

Hallo Gast!

Setze jeden der Terme gleich Null, und berechne die Nullstelle(n) jedes Terms. Die Nullstellen aller Terme  zusammen sind die Nullstellen der Funktion.

\(f(x)=(x^2-3x+2)\cdot (x-2)\cdot \sqrt{x}=0\\ x^2-3x+2=0\ \ \Rightarrow \ (x=- \frac{p}{2}\pm(\sqrt{(\frac{p}{2})^2-q}\ Nullstellengleichung)\\ x=1,5\pm\sqrt{2,25-2}=1,5\pm0,5\\ \color{blue}x_{1,2}\in \{1;2\}\)

\(x-2=0\\ \color{blue}x_3=2\\ \sqrt{x}=0\\ \color{blue}x_4=0\)

Wenn eine Funktion ein Produkt aus mehreren Funktionen ist, kommt es vor, dass die Einzelfunktionen gleiche Nullstellen haben. Bei uns ist es die 2. Sie wird in der Lösung nur einmal genannt.

\(f(x)=(x^2-3x+2)\cdot (x-2)\cdot \sqrt{x}=0\\ \color{blue}x\in\{0;1;2\}\)

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Ich will's auch mal versuchen.

Zeige mit vollständiger Induktion

\(\color{blue}{a}^{n+1} −{b}^{n+1} = (a − b)\sum \limits_{k=0}^n{a}^{n-k}\ {b}^{k}\\ f\ddot ur\ alle\ n\in \mathbb N.\\ .\\ F\ddot ur\ n=0\ gilt:\ k=0\\ {a}^{0+1} −{b}^{0+1} = (a − b) (a^{0-0}b^0)\\ a-b=(a-b)\cdot 1 \)

Für n = 0 sind beide Seiten gleich. Die Aussage ist wahr.

\(F\ddot ur\ {\color{blue}n=1}\ gilt:\ k\in \{0;1\}\\ \color{blue}{a}^{n+1} −{b}^{n+1} = (a − b) \sum \limits_{k}^n{a}^{n-k}\ {b}^{k}\\ {a}^{1+1} −{b}^{1+1} = (a − b) (a^{1-0}b^0+a^{1-1}b^1)\\ {a}^2 −{b}^2 = (a − b) (a^{1}\cdot 1+1\cdot b^1)\\ {a}^2 −{b}^2 = (a − b) (a+b)\)

\(\)\(\)Für n = 1 sind beide Seiten gleich. Die Aussage ist wahr.

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\(\)

Thanks very much! I will use your hints.

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What is the exact value of sin(θ+β)?

Hello Sarcasticcarma! 

\(cos\ θ=−\frac{\sqrt{2}}{6}\ |\ π\le θ\le\frac{3\pi}{2}\\ tan\ β=\frac{5}{12}\ |\ 0\le\beta\le \frac{\pi}{2}\\\)

\(sin(\theta+\beta)=sin \theta\ cos\beta+cos\theta\ sin\beta\\ sin\theta=-\sqrt{1-cos^2\theta}\ \Leftarrow\ 3rd\ quadrant\\ sin\beta=\frac{tan\beta}{\sqrt{1+tan^2\beta}}\ \\ cos\beta=\frac{1}{\sqrt{1+tan^2\beta}}\\ sin(\theta+\beta)=-\sqrt{1-cos^2\theta}\cdot \frac{1}{\sqrt{1+tan^2\beta}}+cos\theta\cdot \frac{tan\beta}{\sqrt{1+tan^2\beta}}\\ \)

\(sin(\theta+\beta)=-\sqrt{1-(-\frac{\sqrt{2}}{6})^2}\cdot \dfrac{1}{\sqrt{1+(\frac{5}{12})^2}}+(-\frac{\sqrt{2}}{6})\cdot \dfrac{(\frac{5}{12})}{\sqrt{1+(\frac{5}{12})^2}}\\ \)

\(sin(\theta+\beta)=-\frac{\sqrt{34}}{6}\ \cdot \ \frac{12}{13}\ -\ \frac{\sqrt{2}}{6}\ \cdot \ \frac{5}{ 13}\\ \color{blue}sin(\theta+\beta)=-\dfrac{12\cdot \sqrt{34}+5\cdot \sqrt{2}}{78}=-0.9877\)

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Rechnung mit Rest ausrechnen.

Hallo Gast!

\(11072010:42=263619.\overline{285714}\\ =263619\ Rest\ 0.\overline{285714}\cdot 42\\ \color{blue}11072010:42=263619\ Rest\ 12\)

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I beg your pardon hipie!

I mostly look at the avatar and since yours doesn't have a picture I missed your name.

integral question

Hello hippie!

\(\int_{0}^{\infty} x^{3} e^{-x^4} dx\ |\ [https://www.integralrechner.de/]\\ = |-\dfrac{e^{-x^4}}{4}\ |_0^\infty =-\dfrac{e^{-\infty^4}}{4}-(-\dfrac{e^{-0^4}}{4})=0-(-\dfrac{1}{4})\) 

\(\color{blue}\int_{0}^{\infty} x^{3} e^{-x^4} dx=\dfrac{1}{4}\)

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(2s-3t)*(3s-2t)

Hallo Gast!

Klammern werden so multipliziert:

Multipliziere jedes Glied der ersten Klammer mit jedem Glied der zweiten Klammer

Auch hier gilt:

 \(Die\ Multiplikation\ gleicher\ Vorzeichen\ ergibt\ +\ (plus).\\ Die\ Multiplikation\ verschiedener\ Vorzeichen\ ergibt\ -\ (minus).\)

\((2s-3t)\cdot (3s-2t)=6s^2-4st-9st+6t^2=\color{blue}6s^2-13st+6t^2\). 

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Wie geht Bruch?

Hallo Gast!

Lies da nach. Da steht fast alles darüber drin.