Um das Becken eines Schwimmbades zu füllen, hat man drei Wasserhähne zur Verfügung. Jeder Hahn ist verschieden stark.
Wenn nur Hahn A und Hahn B offen sind dauert es 70 Minuten.
Wenn nur Hahn A und Hahn C offen sind dauert es 50 Minuten.
Wenn nur Hahn B und Hahn C offen sind dauert es 56 Minuten.
Wie lange dauert es bis das Becken voll ist, wenn man alle Hähne aufdreht?
Hallo Gast!
\(Q: Volumenstrom\\ V: Volumen\\ t: Zeit\\ V=Q\times t\)
\(V=(Q_A+Q_B) \times 70'\\ V=(Q_A+Q_C)\times 50'\\ V=(Q_B+Q_C) \times 56'\) ( ' steht für min, '' steht für min² )
\(substituieren:\\ Q_A=a\\ Q_B=b\\ Q_C=c\)
\(V=70' a+70'b\\ V=50'a+50'c\\ V=56'b+56'c\)
\(a=\frac{V-70'b}{70'}\\ a=\frac{V-50'c}{50'} \)
\(\frac{V-70'b}{70'}=\frac{V-50'c}{50'}\\ 50'V-3500''b=70'V-3500''c\\ b=\frac{50'V-70'V+3500''c}{3500''}\\ V=56'b+56'c\\ b=\frac{V-56'c}{56'}\)
\(\frac{50'V-70'V+3500''c}{3500''}=\frac{V-56'c}{56'}\\ 2800''V-3920''V+196000'c=3500''V-196000'c\\ 392000'c=4620''V\\ \color{blue} c=\frac{V}{84,\overline{84}\ '}=Q_c\)
\(b=\frac{V-56'c}{56'}\\ b=\frac{V-56'\cdot \frac{V}{84,\overline{84}'}}{56'}\\ b=\frac{84,\overline{84}'V-56'V}{84,\overline{84}'\cdot56'}\\ b=\frac{(84,\overline{84}'-56')V}{84,\overline{84}'\cdot56'}\)
\(\color{blue}b=\frac{V}{164,705882353'}=Q_b\)
\(a=\frac{V-50'c}{50'} \\ c=\frac{V}{84,\overline{84}\ '}\\ a=\frac{V-50'\cdot \frac{V}{84,\overline{84}\ '}}{50'} \\ a=\frac{84,\overline{84}\ 'V-50'V}{84,\overline{84}\ '\cdot \ 50'}=\frac{34,\overline{84}\ 'V}{4242,\overline{42}\ ''}\)
\(a=\frac{V}{121,73913'}=Q_a\)
\(\color{blue}V=(Q_a+Q_b+Q_c)\times t\\ t=\frac{V}{Q_a+Q_b+Q_c}=\frac{V}{V\times (\frac{1}{121,73913'}+\frac{1}{164,705882353'}+\frac{1}{84,\overline{84}\ '})}=38.3562'\)
\(t=38,3562 '=38\ min\ 21,37\ sec\)
Das Becken ist nach 38 Minuten und 21,37 Sekunden gefüllt, wenn alle drei Hähne geöffnet sind.
UFF!
Gruß
!
