heureka

I see, thank you Melody

\(e^{-5j\pi}=-1\)

Euler's identity: \(e^{j\pi} = -1\)

\(\begin{array}{rcl} e^{j\pi} &=& -1 \qquad &|\qquad ()^{-5}\\ (e^{j\pi})^{-5} &=& (-1)^{-5}\\ e^{-5j\pi}&=& \frac {1}{(-1)^5} = \end{array}\)

\(=\frac{1}{-1} = -1\)

\((+11)^2 - 6^2 = 85\\ (-11)^2-6^2 = 85\)

11 and 6 or -11 and 6

\(\begin{array}{rcl} x&=&\ln{ ( \frac{1}{e} ) } \\ x&=& \ln{ ( 1 ) } - \ln{(e)}\\ \ln{(1)} = 0 &&\ln{(e)} = 1 \\ x&=&0-1\\ x &=& -1 \end{array}\)

x=ln(1/e) 

x=ln(1) - ln (e)    |   ln(1) = 0     and    ln(e) = 1 

x=0-1

x=-1

Consider the function \(f(x) =\frac{4 \sin{(x)}-x\cdot \cos{(x)}-2x}{2+\cos{(x)} } \quad \text{ for }\quad 0\le x \le2\pi\)

1) Show that f'(x)=4cosx-cos^2x/(2+cosx)^2

 \(\begin{array}{rcll} f(x) = \frac{4 \sin{(x)}-x\cdot \cos{(x)}-2x}{2+\cos{(x)} } &=& \frac{4 \sin{(x)}-x\cdot [ 2+ \cos{(x)} ] }{2+\cos{(x)} }\\ &=& \frac{4 \sin{(x)} } {2+\cos{(x)} } - \frac{x\cdot [ 2+ \cos{(x)} ] } {2+\cos{(x)} }\\ &=& \frac{4 \sin{(x)} } {2+\cos{(x)} } - x\\\\ f(x) &=& \frac{u}{v} \qquad \Rightarrow \qquad f'(x) = \frac{u'v-uv'}{v^2} \\ u= 4 \sin{(x)} && u' = 4 \cos{(x)} \\ v= 2+\cos{(x)} && v' = - \sin{(x)} \\\\ f'(x) &=& \frac{ 4 \cos{(x)}(2+\cos{(x)}) - 4 \sin{(x)}(- \sin{(x)}) } {[2+\cos{(x)}]^2} - 1 \\ f'(x) &=& \frac{ 8 \cos{(x)} + 4 \cos^2{(x)} + 4 \sin^2{(x)} } {[2+\cos{(x)}]^2} - 1 \\ f'(x) &=& \frac{ 8 \cos{(x)} + 4 [\cos^2{(x)} + \sin^2{(x)}] } {[2+\cos{(x)}]^2} - 1 \qquad & \cos^2{(x)} + \sin^2{(x)} = 1\\ f'(x) &=& \frac{ 8 \cos{(x)} + 4 } {[2+\cos{(x)}]^2} - 1 \\ f'(x) &=& \frac{ 8 \cos{(x)} + 4 - [2+\cos{(x)}]^2} {[2+\cos{(x)}]^2} \\ f'(x) &=& \frac{ 8 \cos{(x)} + 4 - [4 + 4\cos{(x)} + \cos^2{(x)}]} {[2+\cos{(x)}]^2} \\ f'(x) &=& \frac{ 8 \cos{(x)} + 4 - 4 - 4\cos{(x)} - \cos^2{(x)}]} {[2+\cos{(x)}]^2} \\ f'(x) &=& \frac{ 8 \cos{(x)} - 4\cos{(x)} - \cos^2{(x)} } {[2+\cos{(x)}]^2} \\ f'(x) &=& \frac{ 4 \cos{(x)} - \cos^2{(x)}} {[2+\cos{(x)}]^2} \\ \end{array}\)

2. 

Hello asinus!

Thank you very much.

Eine Postfilliale führt eine Übersicht über dieVerkäufe der Marken und hat über die Weihnachtszeit folgende Funktion aufstellen können:

\(b(t)=30+ e^{ -t^2+4t} \)

Dabei steht b(t) für die Verkauften Bögen und t für die Zeit in Wochen seit beginn der Weihnachtszeit.

a) Berechne die Anzahl Bögen die zum Beginn der Weihnachtszeit verkauft werden.

\(\begin{array}{rcll} b(t) &=& 30+ e^{ -t^2+4t} \qquad & | \qquad t=0\\ b(0) &=& 30+ e^{ -0^2+4\cdot 0} \\ b(0) &=& 30+ e^0 \qquad & | \qquad e^0 = 1\\ b(0) &=& 30+ 1\\ \mathbf{b(0) }&\mathbf{=}& \mathbf{31}\\ \end{array}\)

Zum Beginn der Weihnachtszeit werden 31 Bögen verkauft.

b) Berechne zu welchem Zeitpunkt  50 Briefmarkenbögen verkauft wurden

\(\begin{array}{rcll} b(t) &=& 30+ e^{ -t^2+4t} \qquad & | \qquad b(t) = 50\\ 50 &=& 30+ e^{ -t^2+4t} \qquad & | \qquad -30\\ 20 &=& e^{ -t^2+4t} \qquad & | \qquad \ln{()} \\ \ln{(20)} &=& \ln{( e^{ -t^2+4t} )} \\ \ln{(20)} &=& -t^2+4t \\ t^2-4t + \ln{(20)} &=&0 \\ t &=& \frac{ 4\pm\sqrt{16-4\cdot \ln{(20)} } }{2} \\ t &=& \frac{ 4\pm\sqrt{4.01707090578} }{2} \\ t &=& \frac{ 4\pm 2.00426318276} {2} \\\\ t_1 &=& \frac{ 4 - 2.00426318276 }{2} \\ \mathbf{t_1} &\mathbf{=}& \mathbf{0.99786840862} \\\\ t_2 &=& \frac{4 + 2.00426318276 }{2} \\ \mathbf{t_2} &\mathbf{=}& \mathbf{3.00213159138} \end{array} \)

Nach etwa einer Woche und nach etwa 3 Wochen werden 50 Briefmarkenbögen verkauft

c) Wie hoch ist die maximale Zahl der verkauften Bögen pro Woche? + Zeitpunkt

\(\begin{array}{rcll} b(t) &=& 30+ e^{ -t^2+4t} \qquad & | \qquad b(t)' = 0\\ b(t)' &=& e^{ -t^2+4t} \cdot (-2t+4) = 0\\\\ (-2t+4) &=& 0 \\ 2t &=& 4\\ \mathbf{t} &\mathbf{=}& \mathbf{2} \\\\ b(2) &=& 30+ e^{ -2^2+4\cdot 2} \\ b(2) &=& 30+ e^{ -4+8} \\ b(2) &=& 30+ e^{ 4} \\ b(2) &=& 30+ 54.5981500331 \\ \mathbf{b(2)} &\mathbf{=}& \mathbf{84.5981500331} \\ \end{array}\)

Die maximale Zahl wird nach 2 Wochen verkauft und beträt etwa 85 Stück.

d) Erstelle eine Wertetabelle von t=0 bis t=5 (in einer Schritten) 

\(\begin{array}{|c|c|} \hline t & b(t) \\ \hline 0 & 31\\ 1 & 50.086\\ 2 & 84.598\\ 3 & 50.086\\ 4 & 31\\ 5 & 30.007\\ \hline \end{array}\)

Cylinders X and Y are right cylinders with equal volumes.

Cylinder X has a height of 5 inches and a radius of 6 inches.

Cylinder Y has a height of 9 inches.

What is the radius of Cylinder Y, in inches

Radius of Cylinder X \(= r_x\)
Height of Cylinder X \(= h_x\)

Radius of Cylinder Y \(= r_y\)
Height of Cylinder Y \(= h_y\)

\(\begin{array}{rclcll} V &=& \pi \cdot r_y^2 \cdot h_y &=& \pi \cdot r_x^2 \cdot h_x \\ && \not{\pi} \cdot r_y^2 \cdot h_y &=& \not{\pi} \cdot r_x^2 \cdot h_x \\ && r_y^2 \cdot h_y &=& r_x^2 \cdot h_x \qquad & | \qquad : h_y\\ && r_y^2 &=& r_x^2 \cdot \frac{ h_x } { h_y } \qquad & | \qquad \sqrt{}\\ && r_y &=& r_x \cdot \sqrt{ \frac{ h_x } { h_y } } \qquad & | \qquad h_x = 5\ in. \qquad h_y = 9\ in. \qquad r_x = 6\ in.\\ && r_y &=& 6\ in. \cdot \sqrt{ \frac{ 5\ in. } { 9\ in. } } \\ && r_y &=& 6 \cdot \sqrt{ \frac{ 5 } { 9 } } \ in.\\ && r_y &=& 6 \cdot \frac{ \sqrt{ 5 } } { 3 } \ in.\\ && r_y &=& 2 \cdot \sqrt{ 5 } \ in.\\ && \mathbf{r_y} &\mathbf{=}& \mathbf{4.472135955 \ in.} \end{array}\)

Input        Output

  0                  3

  1                  5

  2                  7

Please help, I have been working on this problem for a while now. I can't seem to figure it out!

\(\begin{array}{|c|c|} \hline \text{Input} & \text{Input } + 1 = \text{ Index } \\ \hline 0 & 1 \\ \hline 1 & 2 \\ \hline 2 & 3 \\ \hline \end{array}\)

 Arithmetic sequence:

\(\begin{array}{rcl} a_n &=& a_1 + (n-1)\cdot d \qquad n = \text{input }+1 \qquad a_1 = 3 \qquad d= 2 \\ a_n &=& 3 + ( \text{input }+1 - 1 ) \cdot 2 \\ a_n &=& 3 + \text{input } \cdot 2 \\ \text{output } &=& 3 + \text{input } \cdot 2 \\ \end{array}\)