Eine Norm muss die folgenden Eigenschaften erfüllen (aus Wiki): Die Norm ist stets positiv oder 0, und
a) Die 1-Norm liefert nur positive Werte (oder 0), denn |f(x)| nimmt nur positive Werte oder 0 an. Die Nullfunktion ist die einzige stetige Funktion, bei der das Integral des Betrags den Wert 0 annimmt, daher funktioniert (1). Die Normeigenschaft (2) folgt, weil sie für den Betrag gilt und weil das Integral linear ist.
Für die Dreiecksungleichung nutzen wir aus, dass die Dreiecksungleichung für den Betrag gilt (bei *) :
\(||f+g||_1 = \int_0^1 |(f+g)(x)|dx = \int_0^1 |f(x) + g(x)|dx \leq^* \int_0^1|f(x)|+|g(x)|dx = \int_0^1 |f(x)|dx + \int_0^1|g(x)|dx = ||f||_1 + ||g||_1\)
Also klappt auch (3) - die 1-Norm ist also tatsächlich eine Norm.
Für die b) ist das gleiche zu tun, das überlass' ich mal dir zur Übung.
c) Ist eigentlich nicht so schwer. Für die unendlich-Norm ist der Norm-Wert jedes Monoms 1 (denk kurz drüber nach falls es dir nicht sofort auffällt - man sieht's eigentlich leicht.)
Für die 1-Norm rechnen wir:
\(||p_n||_1 = \int_0^1|p_n(x)|dx = \int_0^1 p_n(x) dx = \int_0^1 x^n dx = [\frac{1}{n+1} x^{n+1}]_0^1 = \frac{1}{n+1}\)
d) mach ich dir evtl. später. Ich spoiler schonmal: sie sind nicht äquivalent! Man kann's super zeigen mit der Funktionenfolge aus c). Versuch's gern schonmal selbst ;)
