heureka

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What is the volume of a cylinder with a diameter of 301mm and a height of 360mm?

diameter d = 3.01 dm

height h = 3.6 dm

$$\text{Volume }\ V = \pi*r^2*h = \pi*\left(\frac{d}{2}\right)^2*h = \pi *\frac{d^2}{4}*h \\\\ \small{\text{ $ V =\pi *\frac{3.01^2}{4}*3.6 \ dm^3 $ }}$\\\\$ \small{\text{ $ V =25.616829\ dm^3 = 25616829\ mm^3 $ }}$$

What's 2/3 + 4/5

$$\small{\text{ $ \frac{2}{3} + \frac{4}{5}$ }} \small{\text{ $ =\frac{2}{3} *\frac{5}{5} + \frac{4}{5}* \frac{3}{3} $ }} \small{\text{ $ =\frac{10}{15}+ \frac{12}{15} $ }} \small{\text{ $ =\frac{10+12}{15} $ }} \small{\text{ $ =\frac{10+12}{15}$ }} \small{\text{ $ =\dfrac{22}{15}$ }}$$

primzahlzerlegung ?

Für jede natürliche Zahl gilt: Entweder ist sie eine Primzahl oder sie lässt sich in ein Produkt aus Primzahlen zerlegen.

Eine solche Zerlegung wird als Primfaktorzerlegung bezeichnet. Jeder der Faktoren heißt Primfaktor.

Ein Verfahren zur Bestimmung der Primfaktoren einer Zahl besteht darin, beginnend mit der kleinsten Primzahl, mit Hilfe der Teilbarkeitsregeln zu untersuchen, ob diese Teiler der zu untersuchenden Zahl ist. Wenn dies der Fall ist, kann eine erste Zerlegung vorgenommen werden.

Beispiel: Die Zahl 126 soll in Primfaktoren zerlegt werden.
Da 2 Teiler von 126 ist, gilt: 126=2·63
Nun wird der zweite Faktor (hier: 63) weiter zerlegt. Es gilt: 63=3·21, also 126=2·3·21
Weiter ist 21=3·7, also 126=2·3·3·7
Da jetzt alle Faktoren Primzahlen sind (also Primfaktoren sind), ist die Zerlegung abgeschlossen.

$$\begin{array}{rcl} 126 &=& 2 * 3 * 3 * 7 \\ &=& 2 * 3^2 * 7 \quad | \quad \text{Primfaktorzerlegung von 126} \end{array}$$

Primzahlen sind nicht weiter zerlegbar.

Graham mixes up some mint green paint for his bathroom. He mixes 2 1/5 litres of white paint with 3 1/3 of green paint and 1/2 litre of blue paint. How many litres of mint green paint had Graham made altogether?

$$\small{\text{ $ 2\frac{1}{5}+3\frac{1}{3}+\frac{1}{2} $ }}$\\$ \small{\text{$ =2+3+\frac{1}{5}+\frac{1}{3}+\frac{1}{2}$ }}$\\$ \small{\text{$ =5+\frac{1}{5}+\frac{1}{3}+\frac{1}{2} $ }}$\\$ \small{\text{$ =5+\frac{1*3*2}{5*3*2}+\frac{1*5*2}{3*5*2}+\frac{1*5*3}{2*5*3} $ }}$\\$ \small{\text{$ =5+\frac{6}{5*3*2}+\frac{10}{3*5*2}+\frac{15}{2*5*3} $ }}$\\$ \small{\text{$ =5+\frac{6+10+15}{5*3*2} $ }}$\\$ \small{\text{$ =5+\frac{30+1}{30} $ }}$\\$ \small{\text{$ =5+\frac{30}{30} +\frac{1}{30} $ }}$\\$ \small{\text{$ =5+1+\frac{1}{30} $ }}$\\$ \small{\text{$ =6+\frac{1}{30} $ }}$\\$ \small{\text{$ \textcolor[rgb]{1,0,0}{=6\frac{1}{30}} $ }}$$

I. $$f(x)=arctan(8x);f'(x)=?$$

$$\tan[\ \textcolor[rgb]{1,0,0}{\tan^{-1}(8x)} \ ] = 8x \quad | \quad \frac{\ d()}{dx} \quad \small{\text{ and }} \quad \boxed{ [ \ tan(x)\ ]' = 1+\tan^2(x) }\\\\(1+\tan^2(\ \textcolor[rgb]{1,0,0}{\tan^{-1}(8x)} \ ) )\times\left[\ \textcolor[rgb]{1,0,0}{\tan^{-1}(8x)} \ \right]' = 8 \\\\\left[ 1+(8x)^2} \right]\times\left[\textcolor[rgb]{1,0,0}{\tan^{-1}(8x)} \ \right]' = 8 \\\\\boxed{ \left[\ \textcolor[rgb]{1,0,0}{\tan^{-1}(8x)} \ \right]' = \frac{8} {1+(8x)^2} } }$$

II. $$f(x)=sin(x)^{cos(x)};f'(x)=?$$

$$y=\sin{(x)}^{ \cos{(x)} } \quad | \quad \ln() \\ \\ \ln{(y)} = \cos{(x)} *\ln{ (\sin{(x)} ) } \quad | \quad \frac{\ d()}{dx} \\ \\ \frac{y'}{y} = [\cos{(x)}]' * \ln{ (\sin{(x)} ) } + \cos{(x)} *[ \ln{ (\sin{(x)} ) } ]' \\\\ y' = y \left( [\cos{(x)}]' * \ln{ (\sin{(x)} ) } + \cos{(x)} *[ \ln{ (\sin{(x)} ) } ]' \right) \\ \\ y' = \sin{(x)}^{ \cos{(x)} } \left( -\sin{(x)} * \ln{ (\sin{(x)} ) } + \cos{(x)} * \frac{ \cos{(x)} } {\sin{(x)} } \right) \\ \\ y' = \sin{(x)}^{ \cos{(x)} } \left( -\sin{(x)} * \ln{ (\sin{(x)} ) } + \frac{ \cos^2{(x)} } {\sin{(x)} } \right) \\ \\$$

$$\small{\text{ $ f(x)=\dfrac{ (e+1)^3\sqrt{x+1} } { (x+2)\sin^2{(3x+2)} } \\ \\ $ }} \samll{\text{ $ \qquad \textcolor[rgb]{1,0,0}{f'(x) = ?} $ }}$\\\\$ \small{\text{ $ f(x)=\dfrac{ (e+1)^3\sqrt{x+1} } { (x+2)\sin^2{(3x+2)} } = (e+1)^3 \left( \sqrt{x+1} *\frac{1}{x+2} * \frac{1}{\sin{(3x+2)} } * \frac{1}{\sin{(3x+2)} } \right) $ }}$\\\\$ \small{\text{ $ f'(x)=(e+1)^3\dfrac{\sqrt{x+1} } { (x+2)\sin^2{(3x+2)} } \left( \dfrac { ( \sqrt{x+1} )' } { \sqrt{x+1} } -\dfrac { ( x+2 )' } { x+2 } -\dfrac { ( \sin{(3x+2)} )' } { \sin{(3x+2)} } -\dfrac { ( \sin{(3x+2)} )' } { \sin{(3x+2)} } \right) $ }}$\\\\$ \small{\text{ $ f'(x)=(e+1)^3\dfrac{\sqrt{x+1} } { (x+2)\sin^2{(3x+2)} } \left( \dfrac { 1 } { 2\sqrt{x+1}\sqrt{x+1} } -\dfrac { 1 } { x+2 } -\dfrac { 3\cos{(3x+2)} } { \sin{(3x+2)} } -\dfrac { 3\cos{(3x+2)} } { \sin{(3x+2)} } \right) $ }}$\\\\$ \small{\text{ $ f'(x)=(e+1)^3\dfrac{\sqrt{x+1} } { (x+2)\sin^2{(3x+2)} } \left( \dfrac { 1 } { 2\sqrt{x+1}\sqrt{x+1} } -\dfrac { 1 } { x+2 } -\dfrac { 2*3\cos{(3x+2)} } { \sin{(3x+2)} } \right) $ }}$\\\\$ \small{\text{ $ f'(x)=\dfrac{ (e+1)^3\sqrt{x+1} } { (x+2)\sin^2{(3x+2)} } \left( \dfrac { 1 } { 2( x+1 ) } -\dfrac { 1 } { x+2 } -\dfrac { 6\cos{(3x+2)} } { \sin{(3x+2)} } \right) $ }}$\\\\$ \small{\text{ P.S. $ (uv)' = uv\left( \frac{u'}{u} + \frac{v'}{v} \right) $ and $ (\frac{u}{v})' = \frac{u}{v}\left( \frac{u'}{u} - \frac{v'}{v} \right) $ and $ (\frac{u}{v*w})' = \frac{u}{v*w}\left( \frac{u'}{u} - \frac{v'}{v} - \frac{w'}{w} \right) $ and $ (\frac{u}{v*w*w})' = \frac{u}{v*w*w}\left( \frac{u'}{u} - \frac{v'}{v} - \frac{w'}{w} - \frac{w'}{w} \right) $ }}$$

1/3 - 2/9 + 3/27 - 4/81 + 5/243

$$\frac{1}{3} - \frac{2}{9} + \frac{3}{27} - \frac{4}{81} + \frac{5}{243} = \sum \limits_{n=1}^{5}(-n)(-3)^{(-n)}$$

What is 9*4 2/3 = 42

$$\\ \small{\text{ I. $ 9*4\frac{2}{3} $ }}$\\$ \small{\text{ $ =9*(4+\frac{2}{3}) $ }}$\\$ \small{\text{ $ =9*4+9*\frac{2}{3} $ }}$\\$ \small{\text{ $ =36+6 $ }}$\\$ \small{\text{ $ =42 $ }}$\\\\$ \small{\text{ II. $ 9*4\frac{2}{3} $ }}$\\$ \small{\text{ $ =9*(\frac{3*4+2}{3}) $ }}$\\$ \small{\text{ $ =9*\frac{14}{3} $ }}$\\$ \small{\text{ $ =3*14$ }}$\\$ \small{\text{ $ =42 $ }}$$

what is 2 1/8- 1 2/7 = 47/56