heureka

cos(3x) = -0.5

\(\small{\text{$ \begin{array}{rcl} \cos{(3x)} &=& -0.5 \qquad | \qquad \pm \arccos{()}\\ 3x &=& \pm \arccos{(-0.5)} \\ x &=& \pm \frac{ \arccos{(-0.5)} } {3} \\\\ x_1 &=& \frac{1}{3} \cdot \arccos{(-0.5)} \\\\ x_1 &=& \frac{1}{3} \cdot 120^{\circ}\\\\ \mathbf{x_1} & \mathbf{=} & \mathbf{ 40^{\circ} } \\\\ x_2 &=& -\frac{1}{3} \cdot \arccos{(-0.5)} \\\\ x_2 &=& -\frac{1}{3} \cdot 120^{\circ} \\\\ x_2 & = & -40^{\circ} \\\\ x_2 &=& -40^{\circ} + 360^{\circ} \\ \mathbf{x_2} & \mathbf{=} & \mathbf{ 320^{\circ} } \\\\ \end{array} $}}\)

3\4 + 1\2

\(\frac{3}{4} + \frac{1}{2} \\ =\frac{1+2}{4} + \frac{1}{2} \\ =\frac{1}{4}+\frac{2}{4} + \frac{1}{2} \\ =\frac{1}{4}+\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \\ =\frac{1}{4}+1 \\ =1\frac{1}{4}\\ =\frac{5}{4}\)

Take the "Firefox browser". Now I have no more problems. It is as earlier.

\( A^{-1} \text{ ist kein Exponent hoch -1 sondern bedeutet "Inverse Matrix von A", so wie } sin^{-1}(x)\\ arcsin(x) \text{ also die Umkehrfunktion von } sin(x) \text{ bedeutet.} \\ \text{ Es gibt zum Beispiel folgende Methoden, um die inverse Matrix zu bestimmen: } \\ \text{ 1. Gauß-Jordan-Algorithmus } \\ \text{ 2. Cramer - Regel } \\ \text{ 3. Kofaktormatrix aufstellen} \)

Dies ist alles recht aufwendig.

Berechnung nach Cramer:

\(\underbrace{ \begin{pmatrix} 8 & 27 & 20 \\ 27 & 123 & 69\\ 20 & 69 & 72 \end{pmatrix}}_{\text{Matrix A}} \cdot \underbrace{ \begin{pmatrix} x_{11} &x_{12} & x_{13} \\ x_{21} & x_{22} & x_{23}\\ x_{31} & x_{32} & x_{33} \end{pmatrix}}_{\text{inverse Matrix}} = \underbrace{ \begin{pmatrix} 1& 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}}_{\text{Einheitsmatrix}}\)

Wir haben jeweils drei Gleichungssysteme mit jeweils drei Unbekannten.

1. Gleichungssystem:

\(\begin{pmatrix} 8 & 27 & 20 \\ 27 & 123 & 69\\ 20 & 69 & 72 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_{11} \\ x_{21} \\ x_{31} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\\ \begin{array}{rcl} 8\cdot x_{11} + 27 \cdot x_{21} + 20 \cdot x_{31} & = &1\\ 27\cdot x_{11} + 123 \cdot x_{21} + 69 \cdot x_{31} &=& 0\\ 20\cdot x_{11} + 69 \cdot x_{21} + 72 \cdot x_{31} &=& 0\\ \end{array}\\ x_{11} = \frac{\begin{vmatrix} 1 & 27 & 20 \\ 0 & 123 & 69\\ 0 & 69 & 72 \end{vmatrix}}{ \begin{vmatrix} 8 & 27 & 20 \\ 27 & 123 & 69\\ 20 & 69 & 72 \end{vmatrix} }=\frac{4095}{5592} = 0.73229613734\\\\ x_{21} = \frac{\begin{vmatrix} 8 & 1 & 20 \\ 27 & 0 & 69\\ 20 & 0 & 72 \end{vmatrix}}{ \begin{vmatrix} 8 & 27 & 20 \\ 27 & 123 & 69\\ 20 & 69 & 72 \end{vmatrix} }=-\frac{564}{5592} = -0.10085836910\\\\ x_{31} = \frac{\begin{vmatrix} 8 & 27 & 1 \\ 27 & 123 & 0\\ 20 & 69 & 0 \end{vmatrix}}{ \begin{vmatrix} 8 & 27 & 20 \\ 27 & 123 & 69\\ 20 & 69 & 72 \end{vmatrix} }=-\frac{597}{5592} = -0.10675965665\)

2. Gleichungssystem:

\(\begin{pmatrix} 8 & 27 & 20 \\ 27 & 123 & 69\\ 20 & 69 & 72 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_{12} \\ x_{22} \\ x_{32} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\\ \begin{array}{rcl} 8\cdot x_{12} + 27 \cdot x_{22} + 20 \cdot x_{32} & = &0\\ 27\cdot x_{12} + 123 \cdot x_{22} + 69 \cdot x_{32} &=& 1\\ 20\cdot x_{12} + 69 \cdot x_{22} + 72 \cdot x_{32} &=& 0\\ \end{array}\\ x_{12} = \frac{\begin{vmatrix} 0 & 27 & 20 \\ 1 & 123 & 69\\ 0 & 69 & 72 \end{vmatrix}}{ \begin{vmatrix} 8 & 27 & 20 \\ 27 & 123 & 69\\ 20 & 69 & 72 \end{vmatrix} }=-\frac{564}{5592} = -0.10085836910\\\\ x_{22} = \frac{\begin{vmatrix} 8 & 0 & 20 \\ 27 & 1 & 69\\ 20 & 0 & 72 \end{vmatrix}}{ \begin{vmatrix} 8 & 27 & 20 \\ 27 & 123 & 69\\ 20 & 69 & 72 \end{vmatrix} }=\frac{176}{5592} = 0.03147353362\\\\ x_{32} = \frac{\begin{vmatrix} 8 & 27 & 0 \\ 27 & 123 & 1\\ 20 & 69 & 0 \end{vmatrix}}{ \begin{vmatrix} 8 & 27 & 20 \\ 27 & 123 & 69\\ 20 & 69 & 72 \end{vmatrix} }=-\frac{12}{5592} = -0.00214592275\)

3. Gleichungssystem:

\(\begin{pmatrix} 8 & 27 & 20 \\ 27 & 123 & 69\\ 20 & 69 & 72 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_{13} \\ x_{23} \\ x_{33} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\\ \begin{array}{rcl} 8\cdot x_{13} + 27 \cdot x_{23} + 20 \cdot x_{33} & = &0\\ 27\cdot x_{13} + 123 \cdot x_{23} + 69 \cdot x_{33} &=& 0\\ 20\cdot x_{13} + 69 \cdot x_{23} + 72 \cdot x_{33} &=& 1\\ \end{array}\\ x_{13} = \frac{\begin{vmatrix} 0 & 27 & 20 \\ 0 & 123 & 69\\ 1 & 69 & 72 \end{vmatrix}}{ \begin{vmatrix} 8 & 27 & 20 \\ 27 & 123 & 69\\ 20 & 69 & 72 \end{vmatrix} }=-\frac{597}{5592} = -0.10675965665\\\\ x_{23} = \frac{\begin{vmatrix} 8 & 0 & 20 \\ 27 & 0 & 69\\ 20 & 1 & 72 \end{vmatrix}}{ \begin{vmatrix} 8 & 27 & 20 \\ 27 & 123 & 69\\ 20 & 69 & 72 \end{vmatrix} }=-\frac{12}{5592} = -0.00214592275\\\\ x_{33} = \frac{\begin{vmatrix} 8 & 27 & 0 \\ 27 & 123 & 0\\ 20 & 69 & 1 \end{vmatrix}}{ \begin{vmatrix} 8 & 27 & 20 \\ 27 & 123 & 69\\ 20 & 69 & 72 \end{vmatrix} }=\frac{255}{5592} = 0.04560085837\)

\(A^{-1}=\begin{pmatrix} 0.73229613734 & -0.10085836910 & -0.10675965665 \\ -0.10085836910& 0.03147353362 & -0.00214592275\\ -0.10675965665 & -0.00214592275 & 0.04560085837 \end{pmatrix}\)

Da die Matrix A eine symmetrische Matrix ist, so muss auch die inverse Matrix eine symmetrische Matrix sein.

$$\\5x \text{ ueber Wasser}\\
x \text{ im Wasser}\\
2x\text{
im Grund}\\
5x+x+2x=24\\
8x=24\\
x=3$$

3 m ist das Stueck, das sich im Wasser befindet.

g(x)=-3x+1 and g(10)

$$\small{
\begin{array}{rclcr}
g(\textcolor[rgb]{1,0,0}{x}) &=& -3 &\cdot & \textcolor[rgb]{1,0,0}{x}+1 \\
g(\textcolor[rgb]{1,0,0}{10}) &=& -3 &\cdot & \textcolor[rgb]{1,0,0}{10} + 1\\
g(10) &=& -30 && +1\\
\mathbf{g(10)} & \mathbf{=} & \mathbf{-29}
\end{array}
}$$

a times b equals -8. a plus b equals 7. what is a and b?

$$\small{
\begin{array}{lrcl}
(1) & a\cdot b&=& -8\\
(2) & a+b &=& 7\\
& \mathbf{b} & \mathbf{=} & \mathbf{7-a}\\
\hline
(2) \text{ in } (1) & a\cdot (7-a) &=& -8 \\
& 7a-a^2 &=& -8 \\
& a^2 - 7a -8 &=& 0\\
& (a-8)(a+1) &=& 0 \\
& \mathbf{a_1} & \mathbf{=} & \mathbf{8} \\
& \mathbf{a_2} & \mathbf{=} & \mathbf{-1} \\
\hline
& b_1 &=& 7-a_1 \\
& b_1 &=& 7 - 8 \\
& \mathbf{b_1} & \mathbf{=} & \mathbf{-1} \\
& b_2 &=& 7 - a_2 \\
& b_2 &=& 7 -(-1) \\
& b_2 &=& 7+1 \\
& \mathbf{b_2} & \mathbf{=} & \mathbf{8}
\end{array}
}$$

$$\small{
\begin{array}{lclccl}
a_1 = 8 \quad &\text{ and } \quad b_1 &=& -1\\
a_2 = -1 \quad &\text{ and } \quad b_2 &=& 8
\end{array}
}$$

The first term of a geometric series is 2, the nth term is 486 and the sum of the n terms is 728.

Find r and n

$$\small{
\begin{array}{lrcl}
(1) & a_1&=&\mathbf{a=2}\\\\
(2) & a_n &=& a\cdot r^{n-1} \\
& 486 &=& 2 \cdot r^{n-1} \\
& \mathbf{r^{n-1}} &\mathbf{=} & \mathbf{ 243 } \\\\
(3) & s_n - s_{n-1} &=& a_n \\
& 728 - s_{n-1} &=& 486 \\
& s_{n-1} &=& 728-486 \\
& \mathbf{s_{n-1}} & \mathbf{=} & \mathbf{242} \\\\
(4) & s_{n-1} &=& a\cdot \dfrac{ r^{n-1} -1 }{ r-1 } \\\\
& 242 &=& 2 \cdot \dfrac{ 243-1 }{ r-1 } \\\\
& 242 &=& 2 \cdot \dfrac{ 242 }{ r-1 } \\\\
& r-1 &=& 2\\
& \mathbf{r} & \mathbf{=} & \mathbf{3}\\\\
(5) & r^{n-1} & = & 243 \\\\
& 3^{n-1} &=& 3^5 \\
& n-1 &=& 5 \\
& \mathbf{n} &\mathbf{=} & \mathbf{6}
\end{array}
}$$

r = 3 and n = 6

$$\small{
\begin{array}{rclcr}
\text{geometric sequence: }
a_1 &=& 2 \cdot 3^0 &=& 2\\
a_2 &=& 2\cdot 3^1 &=& 6 \\
a_3 &=& 2\cdot 3^2 &=& 18\\
a_4 &=& 2\cdot 3^3 &=& 54\\
a_5 &=& 2\cdot 3^4 &=& 162\\
a_6 &=& 2\cdot 3^5 &=& 486\\
\hline
s_6 &&&= & 728
\end{array}
}$$ 

check:

$$\small{
a_n=a_6 = 2\cdot 3^5 = 486 \quad \text{( okay)}
}$$

Solve each equation. Check your answer. |-4x|=32 

 $$\small{
\begin{array}{rcll}
|-4x| & = & 32 &\qquad \text{(square both sides)}\\
( |-4x| )^2 & = & 32^2 \\
(-4)^2\cdot x^2 &=& 32^2 & \qquad \text{(remove brackets)}\\
4^2 \cdot x^2 &=& 32^2 \\
4^2 \cdot x^2 - 32^2 &=& 0\\
(4x-32)\cdot(4x+32) &=& 0\\
\end{array}$$

(1) 4x-32 = 0  -> 4x = 32 ->  x = 32/4 -> x = 8

(2) 4x+32= 0  -> 4x=-32 ->  x = -32/4 -> x = -8

(1) | -4 * 8 | = |-32| = 32 ( okay )

(2) | -4*(-8) | = | 32 | = 32 ( okay )

Sin(θ-β)-2sin(2(θ-β))-sin(2θ)=0

0°<​θ<90°

0°<β<90°

wolframalpha:

plot sin(y-x)-2sin(2(y-x))-sin(2y) = 0 ( 0<x<pi/2 ) (0<y<pi/2)