Bosco

Alejandra's Tapas Bar offers a menu consisting of 9 savory and 6 sweet dishes. You can also get a mix-and-match plate consisting of two different dishes on the menu. How many different mix-and-match plates can you get in total?      

The menu contains a total of 9 + 6 = 15 dishes.     

Combinations of 15 things taken 2 at a time, written as ₁₅C₂ = 105.     

It wouldn't be 15 times 14 because those would be permutations.    

Permutations would be double the number of combinations, because     

each combination would be chosen twice, once as A+B and again as B+A.     

_.     

Find the radius of the circle with equation x^2 - 4x + y^2 - 6y - 36 = 25     

The general equation of a circle is  —>    (x – h)² + (y – k)²  =  r²        

              Our equation is                  —>    x² – 4x + y² – 6y – 36  =  25      

We are going to complete both squares.     

Remember, whatever you add to the left side,     

you have to add the same thing to the right side.     

                                                 x² – 4x + y² – 6y – 36  =  25      

                                                (x² – 4x + 4)  +  (y² – 6y + 9)  – 36  =  25 + 4 + 9      

                                                (x – 2)²          +  (y – 3)²          – 36  =  38      

                                                (x – 2)²          +  (y – 3)²                   =  38 + 36     

                                                (x – 2)²  +  (y – 3)²  =  74    <——  this 74 is the radius squared     

                                                                          r²  =  74     

                                                                          r    =  sqrt(74)     

                                                                          r    =  sqrt(74)     

_.     

For what value of c will the circle with equation x^2 + 6x + y^2 - 14y + c = 0 have a radius of length 4?     

                                   The equation of a circle is (x – h)² + (y – k)²  =  r²        

                                                                              x² + 6x + y² – 14y + c  =  0   

     It is necessary to complete the squares,     

     and make c account for r² equalling 4².     

                                                                             (x² + 6x      )  +  (y² – 14y        )  +  c  =  0     

                                                                             (x² + 6x      )  +  (y² – 14y        )          =  – c     

     Must add same amount to both sides             (x² + 6x + 9)  +  (y² – 14y + 49)          =  – c  + 9 + 49     

                                                                             (x + 3)²          +  (y – 7)²                      =  – c  + 58     

     We want the right hand side to be 16,     

     so "– c" has to remove 42 from the 58.            58 – c  =  16     

                                                                                   – c  =  16 – 58     

                                                                                   – c  =  – 42     

                                                                                      c  =  42     

_.     

Find all values of a that satisfy the equation a/3 + 1 = a + 3.     

Couldn't we just solve for a?                         (a/3) + 1  =  a + 3     

Multiply both sides by 3                                      a + 3  =  3a + 9     

                                                                               – 6  =  2a     

                                                                                  a  =  – 3     

_.     

At Joe's Pizza a 16 inch diameter pizza and a 12-inch-diameter pizza cost the same per square inch of top surface area. If the cost of a large pizza is 8.00, what is the cost, in dollars, of the smaller pizza?     

        A₁₂              x     

      –––––   =   –––––     

        A₁₆            8.00     

        36 π            x     

      –––––   =   –––––     

        64 π          8.00     

           9               x     

      –––––   =   –––––      —>  crossmultiply  —>   16 • x  =  8.00 • 9     

         16             8.00                                                  16x  =  72.00    

                                                                                       x  =    4.50       cost of 12 inch pizza     

_.     

Find the perimeter of the trapezoid below      

We need the height of the rectangular part of the figure.  Call that height "H"     

c² = a² + b²     —>>     a²  =  c² – b²     In this Pythagorean equation, "a" is our "H".     

                                    H²  =  10² – 6²     

                                    H²   =  100 – 36     

                                    H²  =  64     

                                    H    =    8     

Perimeter, going clockwise from the bottom point of the triangle     

                                     P  =  19 + 8 + 13 + 10     

                                     P  =  50     

_.     

Brianna spends a total of $24.25 on 3 drinks and 4 bags of popcorn.     

Chloe spends a total of $37.00 on 9 drinks and 1 bag of popcorn.     

Write a system of equations that can be used to find the price of one drink and the price of one bag of popcorn. Using these equations determine and state the price of a bag of popcorn to the nearest cent.      

Call the price of one bag of popcorn  " B "     

Call the price of one drink                  " D "     

Brianna —>      3D + 4B  =  24.25     multiply both sides by 3     9D + 12B  =  72.75     

Chloe    —>      9D +   B  =  37.00                                                9D +     B  =  37.00     

                                                          subtract                                        11B  =  35.75     

                                                                                                                  B  =    3.25     

_.     

What is the minimum possible value for y in the equation y=x^2+12x+5+x^2+4x+17?     

                                  y  =  x² + 12x + 5 + x² + 4x + 17     

                                  y  =  2x² + 16x + 22     

Positive x² indicates this is a parabola that opens upward,     

so the minimum value of y is at the vertex.     

                                  y  =  2x² + 16x + 22     

first derivative            y'  =  4x + 16    

set equal to 0                      4x + 16  =  0     

                                                    4x  =  –16     

                                                      x  =  – 4         <—— this is the x-coordinate of the vertex     

substitute – 4     

in original eq              y  =  2x² + 16x + 22     

                                  y  =  (2)(16) + (16)(–4) + 22     

                                  y  =  32 – 64 + 22     

                                  y  =  –10                            <—— this is the y-coordinate of the vertex     

                                                                                       which is the minimum value of y     

_.     

1. The sum of 2 integers is -1. Their product is -12. What are the integers?     
2. The sum of 2 integers is +2. Their product is -24. What are the integers?      

Solve 1.     

                  x + y = –1     —>  y = –1 – x     substitute this in the other equation     

                  x • y = –12     

                                                             x • (–1 – x)  =  –12     

                                                                   –x – x²  =  –12     

                                                                            0  =  x² + x – 12     

                                                             x² + x – 12  =  0     

                                                          (x + 4)(x – 3)  =  0     

                                                                    (x + 4)  =  0     ——>  x  =  – 4     

                                                                    (x – 3)  =  0     ——>  x  =  + 3     

                  When x = –4             When x = +3     

                       x + y = –1                  x + y = –1     

                             y = –1 + 4                  y = –1 – 3     

                             y = +3                        y = –4     

Solve 2. the same way.     

_.     

  A rectangular garden has an area of 24 square meters.     

The width is 8 meters less than twice the length.     

Find the dimensions of the garden     

Area = L • W     

Call the length      L     

Call the width      2L – 8     

And the area is    24     

                L • (2L – 8)  =  24     

                2L² – 8L  =  24     

                2L² – 8L – 24  =  0     

                 (2L – 12) (L + 2 )  =  0    

                                  L +   2  =  0     ——>  L = – 2   discard     

                                2L – 12  =  0     ——>  L =  6     

                                 W  =  2L – 8     

                                 W  =  12 – 8     ——>  W =  4     

_.