Bosco

Choose the equation that satisfies the data in the table.     

Per the table, when x = 0 then y = 9 . . .  that narrows it down to B. or C.     

Per the table, when y = 0 then x = –6 . . .  that can happen with only B.     

_.     

Find the vertex of the graph of the equation x - y^2 + 8y = 13 + 4y - 8.     

                                           x – y² + 8y  =  13 + 4y – 8     

                                                           x  =  y² – 4y + 5     

1st derivative                                             2y – 4     

set = zero                                                  2y – 4  =  0     

                                                                        2y  =  4     

                                                                          y  =  2      <— this is the y-coordinate of the vertex     

substitute 2 in equation                      x  =  2² – (4)(2) + 5     

                                                           x  =  4   – 8        + 5     

                                                           x  =  1                     <— this is the x-coordinate of the vertex     

                                                           Vertex is at (1, 2)           parabola opening to the right     

_.     

Find all values of x such that x/(x - 5) = -4/(x - 4)     

                                                      x                – 4     

                                                 ––––––   =   ––––––     

                                                  (x – 5)          (x – 4)     

crossmultiply                              x² – 4x  =  – 4x + 20     

rearrange for clarity                    x² – 4x  =  20 – 4x     

                                                           x²  =  20     

                                                           x  =  + sqrt(20)     

                                                           x  =  – sqrt(20)     

_.     

Let a, b, and c, be nonzero real numbers such that a+b+c=0. Compute the value of . . .      

     a(b – c)  multiplied out is  ab – ac     

     b(c – a)  multiplied out is  bc – ba     

     c(a – b)  multiplied out is  ca – cb     

add up the column on the right     ab – ac + bc – ba + ca – cb     

change ba to ab     

change ca to ac     

change cb to bc                             ab – ac + bc – ab + ac – bc     

rearrange                                       ab – ab + ac – ac + bc – bc     

add parentheses for clarity            (ab – ab) + (ac – ac) + (bc – bc)     

Everything cancels out and the      final total is zero.     

_.     

Let a and b be real numbers such that a^3 + 3ab^2 = 679 and 3a^2 b + b^3 = -679. Find a + b.     

                               a³ + 3ab²  =    679     

                               3a²b + b³  =  –679     

add them to get       a³ + 3ab² + 3ba² + b³  =  0     

this factors to           (a + b)³  =  0     

                                  a + b    =  0      

Verified this by plotting (a+b)³ = 0 on Desmos.     

The curve is identical to the curve for y = –x.      

_.     

Suppose that p and q are prime numbers such that p divides q+1 and q divides p+3. Determine p+q.     

I think p = 2 and q = 5 will do it.     

(q+1) / p       (p+3) / q     

(5+1) / 2       (2+3) / 5     

_.     

If 5 = –4b + 5 and 3a = –2b + 3 + 6b, what is b?     

consider only the first equation                     5 = –4b + 5    

subtract 5 from both sides and you have  –4b = 0  therefore b = 0     

what about that other equation . . . plug zero in for instances of b     

                                                         3a = –2b + 3 + 6b     

                                                         3a =     0 + 3 + 0  and a = 1    

_.     

A positive integer divisor of 11 is chosen at random.     

What is the probability that this divisor is prime?     

Express your answer as a common fraction.     

11 is prime, therefore its only divisors are 1 and 11.     

By the definition of prime, 1 is not a prime number.     

That leaves 11 as the only positive divisor of 11.     

The probability of choosing 11 at random out of all numbers is                             1     

                                                                                                            ––––––––––––––––––––     

                                                                                                             every integer that exists     

_.     

The average of x + 6, 6x + 2, and 4x is 4x-7. What is x?     

      (x + 6)  +  (6x + 2)  +  (4x)           (4x – 7)     

     ––––––––––––––––––––––   =   –––––––     

                        3                                    1     

      11x  +  8           4x – 7     

     ––––––––   =   ––––––      cross multiply to obtain   11x + 8  =  12x – 21      

             3                   1                                                          – x  =  – 29     

                                                                                                 x  =  29     

check answer     

(29+6) + (174+2) + (116) / 3  =?  (116–7)     

             (35 + 176 + 116) / 3  =?  109     

                                 327 / 3  =?  109

                                      109  =  109    True     

_.     

A nonzero number of goats, each with four legs, and a nonzero number of chickens, each with two legs, are living on a farm. Between all the animals, there are 1/3 as many heads as there are legs. Assuming that all animals have all of their limbs, what is the fewest possible number of chickens on the farm?      

      No. Chickens Legs     No. Goats Legs     Total Heads     Total Legs     

                  1           2                 1         4                 2                     6     

_.