Teilchen

Tausend Millionen ($=10^3\cdot10^6=10^{3+6}=10^9$) ist eine Milliarde !

Wenn es sich um unabhängige Ereignisse handelt, würde ich pragmatisch so vorgehen:

Die diskrete Ereignismenge für Dein Experiment könntest Du schreiben als Produktmenge von unterschiedlichen Ereignissen $i\in\{0,1\}$, also:

$\{(i,j,k)|i,j,k\in\{0,1\}\}\\ =\{(0,0,0),(0,0,1),(0,1,0),(0,1,1),(1,0,0),(1,0,1),(1,1,0),(1,1,1)\}$

Da du für jedes Einzelereignis i,j oder k eine 50%-Chance hast, sind die Ereignisse in der Produktmenge gleichverteilt, also gleich wahrscheinlich. Insgesamt gibt es $2^n = 8$ Ereignisse für $n = 3.$

Daraus folgt, durch einfaches zusammenzählen:

i) die Wahrscheinlichkeit, keinmal eine 1 zu haben ist also genauso groß wie die Wahrscheinlichkeit, bei jedem Wurf eine 1 zu bekommen, nämlich jeweils = $\frac{1}{8}$,

ii) die Wahrscheinlichkeit, mindestens einmal eine 1 zu haben, ist = $1-\frac{1}{8}=\frac{7}{8}$,

iii) die Wahrscheinlichkeit, höchstens einmal eine 1 zu haben, ist = $\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$,

iv) die Wahrscheinlichkeit, genau einmal eine 1 zu haben, ist = $\frac{3}{8}$,

v) die Wahrscheinlichkeit, mindestens zweimal eine 1 zu haben, ist = $\frac{1}{2}$,

vi) die Wahrscheinlichkeit, höchstens zweimal eine 1 zu haben, ist = $\frac{7}{8},$

vii) die Wahrscheinlichkeit, genau zweimal eine 1 zu haben, ist = $\frac{3}{8}$.