Bosco

If I give my brother 5 dollars, then we will have the same amount of money. If instead, he gives me 14 dollars, then I'll have three times as much money as he will have. How much money does my brother currently have (in dollars)?     

(Me –   5)  =       (Bro +   5)     —>  multiply by 3  —>    3M – 15  =  3B + 15     

(Me + 14)  =  3 • (Bro – 14)     —>                        —>      M + 14  =  3B – 42     

                                                                      subtract

                                                                                        2M – 29  =          57     

                                                                                                 2M  =  86     

                                                                                                   M  =  43     

                                                               M – 5  =  B + 5     

                                                              43 – 5  =  B + 5     

                                                              43 – 10  =  B     

                                                                        B  =  33     

  check answer     

                           43 + 14  =?  3 • (33 – 14)     

                           43 + 14  =>  99 – 42     

                                   57  =  57     True     

_.     

In the diagram, a = 4 and b = 9.  Find x.     

Draw a line from center of small circle perpendicular to radius of large circle.     

That new line, call it Z, is parallel to x, which makes it the same length as x.     

Z is also a side of a right triangle with 1 side = (9 – 4) and the hypotenuse = (9 + 4).     

So Z  =  sqrt(13² – 5²)  =  sqrt(144)     

Z = x     ——>>          x  =  12     

_.        

In how many ways can 36 be written as the product a*b*c*d,     

where a, b, c, d are positive integers such that a <= b <= c <= d?     

1 • 1 • 1 • 36  =  36     

1 • 1 • 2 • 18  =  36     

1 • 1 • 3 • 12  =  36     

1 • 1 • 4 •   9  =  36     

1 • 1 • 6 •   6  =  36      

1 • 2 • 2 •   9  =  36     

1 • 2 • 3 •   6  =  36     

1 • 3 • 3 •   4  =  36     

2 • 2 • 3 •   3  =  36     

A right triangle has a hypotenuse that is 6 m longer than 2 times the shortest side and the third side is 2 m shorter than the hypotenuse.  Find the area of the triangle.     

c²  =  a² + b²     

c  =  hypotenuse  =  (2a + 6)     

a  =  short side     

b  =  (hyp – 2)  =  (2a + 6) – 2     

(2a + 6)²  =  a²  +  ((2a + 6) – 2)²     

(2a + 6)²  =  a²  +  (2a + 4)²     

4a² + 24a + 36  =  a² + 4a² + 16x + 16     

–a² + 8x + 20  =  0     

  a² – 8x – 20  =  0     

(a + 2)(a – 10)  =  0     

                a  =  – 2 , , , discard    

                a  =  10     

                b  =  (2a + 4)  =  (20 + 4)     

                b  =  24     

                c  =  (2a + 6)  =  (20 + 6)     

                c  =  26     

check if these are plausible numbers:  26² =? 10² + 24²      

                                                             676 =? 100 + 576     Looks good, so continue.     

                A  =  (1/2)(base)(height)     

                A  =  (1/2)(10)(24)     

                A  =  120     

_.     

The sum of two numbers is 168. The sum of 1/8 of the smaller number and of 3/4 the greater number is 76. Find the difference between the two numbers.     

A + B  =  168                                                            ——>>  A + B    =  168     (eq 1)     

(1/8)A + (3/4)B  =  76   —>>  multiply across by 8   ——>>  A + 6B  =  608     (eq 2)     

subtract (eq 1) from (eq 2)                                                            5B  =  440     

                                                                                                        B  =  88     

                                                                                                  A + B  =  168     

                                                                                                A + 88  =  168     

                                                                                                         A  =  80     

                                                                                                88 – 80  =  8      

check answer     

        (1/8)(80)  +  (3/4)(88)  =?  76     

             10       +       66       =    76     

_.     

If t is a real number, what is the maximum possible value of the expression -t^2 + 8t -4 - 3t^2 - 11?     

                                                        –t² + 8t – 4 – 3t² – 11     

                                                        –4t² + 8t – 11     

take 1st derivative     

and set it equal to 0                         –8t + 8  =  0     

                                                               –8t  =  –8     

                                                                   t  =  1     <—— this is the x-coordinate, when graphed     

                                                        –4t² + 8t – 11     

                                                        –4(1) + 8(1) – 11  =  –7     

                     vertex of parabola, max value  =  –7     

_.     

Pearl writes down seven consecutive integers and adds them up. The sum of the integers is equal to 8 times the largest of the seven integers. What is the smallest integer that Pearl wrote down?     

     (x) + (x+1) + (x+2) + (x+3) + (x+4) + (x+5) + (x+6)  =  8 • (x+6)     

                                                                        7x + 21  =  8x + 48     

                                                                               – x  =  27     

                                                                                  x  =  – 27     

     check answer     

     –27 + –26 + –25 + –24 + –23 + –22 + –21  =  8 • (–21)     

                                                                –168  =  –168     

Pearl writes down seven consecutive integers and adds them up. The sum of the integers is equal to 7 times the largest of the seven integers. What is the smallest integer that Pearl wrote down?     

(x) + (x+1) + (x+2) + (x+3) + (x+4) + (x+5) + (x+6)  =  7 • (x+6)     

                                                                   7x + 21  =  7x + 42     

the problem has no solution     

_.     

In any isosceles triangle ABC with AB = AC, the altitude AD bisects the base BC so that BD = DC. If AB = AC = 25 and BC = 18, then determine the length of the altitude      

Per Pythagoras   c² = a² + b²  from which —>>   a² = c² – b²     

In this problem  a = altitude     

                          b = 9 (half the base)     

                          c = 25 (side of triangle)      

(Altitude)²  =  25² – 9²     

                  =  625 – 81     

                  =  544     

Altitude      =  sqrt(544)     

                  =  16 • sqrt(34)     

_.