CPhill

AB  = 13

AE  = 5

BE  = 12

So    triangle  ABE  is a 5 - 12 - 13 right triangle

The area  of  this triangle  =  (1/2)(12)(5)  = 30

The base of the triangle  = AB  = 13

So

30  = (1/2)base * altitude

60 = 13 * altitude

60/13  = altitude

Call the altitude EF   

And using the Pythagorean Theorem

BF  = 

sqrt ( BE^2  -  EF^2)  = 

sqrt (12^2 - (60/13)^2)  = 

sqrt  (144 - 3600/169)  = 

sqrt (144 * 169 - 3600) / 13  =

sqrt (20736) / 13  =

144/13

So....the distance that  E  is from AD   =

AB - BF  =

13  - 144/13   = 

[169 - 144] / 13   =   

25/13 units  = 

1 + 12/13  units

x = 6cos t sin t

y  = 6cos^2 t   

The curve is traced  out  once from  0  to  pi

Let   g  =  6cost sint

Let  f  =  6cos^2 t

Let f '   = -12cost sint

So  we have  that

                              pi

absolute value  of  ∫   g * f '   dt   =     

                              0

       pi

- 72 ∫   (cos^2 t) (sin^2 t)  dt    = 

       0  

       pi

- 72 ∫   (cos t * sin t)^2  dt    = 

       0  

       pi

- 72 ∫   (sin^2t  *cos^2t)  dt    = 

       0  

Note  .....  (sin^2 t * cos^2 t )   =    [ 1 - cos (4t) ]  /  8

               pi

(- 72 / 8  ) ∫   1  - cos(4t)  dt    = 

              0

                                      pi

- 9    [    t    +  sin (4t)/4 ]            =

                                     0

-9  [ ( pi +  0 ) -  ( 0 + 0) ]   =

-9 pi  

absolute value   of this  = 

9pi  units^2

This is a circle with a radius of 3 centered at (0, 3) 

See  the graph here....https://www.desmos.com/calculator/6me6a7tpzr

9                                  9

∫   2x    dx      =     x^2 ]      =     9^2  - 8^2   =    17

8                                 8

BTW....the "snake monster "   is known  as the "integral" sign   .....LOL!!!

Essentially.....we are evaluating the area between the line y  = 2x   and the x axis  from x = 8 to x = 9

This  is  a  trapezoid  with a height of  1...one base  = 16   and the other  = 18

So.....the area  becomes

(1/2)(height) (sum of the bases)  =

(1/2) (1) (16 + 18) =

(1/2) (34)  =

17.....just as we found with Calculus   !!!!

Second one

The center  is    (h, k)  =  ( 6, -4)

a  = sqrt (36)  = 6       b   =  sqrt (49)   =  7

This hyperbola intersects the y axis

The  slope  of  the  asymptotes  =    ±√[36/49]  =   ±(6/7)

The equation of the asymptotes  is

y - k =  ±(a/b) ( x - h)    

so

y + 4 =  ±(6/7)(x - 6)

Here's a graph :  https://www.desmos.com/calculator/kalxu48bwq

The  equation in the first problem is impossible....here's why...

If the center   is  (-2,4)  and a vertex is  (-2, 7)    then the major axis  lies  on the line  x  = -2...so this hyperbola will intersect the y axis

So "a"   =  3

So     the correct form  would  have to be

(y - 4)^2          (x + 2)^2

______     -    ________  =   1

    a^2                  b^2

The  positive slope  of  one  asymptote for this hyperbola   is  given by   a / b

So

3/b  = 1/2       

This implies that  "b"  = 6

Therefore....the correct  equation is

(y - 4)^2          ( x + 2)^2

_______   -    _________   =   1

     9                    36

Here is the graph :   https://www.desmos.com/calculator/a9eebyh8du

Here's what I  get  as a "proof"

Let  "a" be the integer under the root....using  CU's quadratic, we have that

a  -  x  = x^2

x^2  + x  -  a  =  0

x^2 + x  =   a              complete the square on  x

x^2 + x  + 1/4   =   a + 1/4

x^2  + x + 1/4  =  (4a + 1)  / 4

(x + 1/2)^2  =   (4a + 1) / 4         take the positive root

x  + 1/2  =    sqrt (4a + 1)  / 2

x =  sqrt  (4a + 1)  - 1

      _______________

                   2

Note   ...

If   a  = 2....then   this evaluates  to   1

If a  =  6.....then  this evaluates to  2

????

Very nice, CU....I saved this one to my "Watchlist"  !!!!!

THX, tomsun  !!!

Here's another way

Call the other endpoint  (x, y)

So  we have that

4 + x                        5  +   y             

_____   =   1          _______   =  -2                multiply both sides by  2

    2                             2

4 +  x   =  2              5  +  y   =  - 4

subtract 4                    subtract 5

from both sides           from both sides

x  = -2                       y =  -9

If BAC  =  115°.....then  angle EAF   also  = 115°   [vertical angles ]

So....in quadrilateral  EAFH  angle  FHE  =  angle BHC  =

360  -  angle EAF  = angle AFH - angle AEH   =

360  - 115 -  90  - 90   =

180  -  115   =

65°