Wie lautet die dritte Ableitung von f(x)=sin^2 x+1/2 cos x ?
Bitte mit vollständigen erklärung.
Danke
Ich hoffe, ich interpretiere deine Angabe richtig. (Klammern würden helfen^^)
\(f(x) = sin^2(x) +{1 \over 2} cos(x) = sin(x)^2 + {1 \over 2} cos(x) \\ \Rightarrow f'(x) = 2sin(x) \cdot cos(x) - {1 \over 2} sin(x) \ \ \ \ (1) \\ \Rightarrow f''(x) = -2sin(x)^2+2cos(x)^2 - {1 \over 2 } cos(x) \)
in (1) habe ich die Kettenregel benutzt - zunächst wird die äußere Funktion abgeleitet: \(sin^2(x) \rightarrow 2sin(x)\)
Dann nachdifferenziert mit sin(x)' = cos(x).
In der letzten Zeile nutze ich die Produktregel. Zunächst lasse ich den Sinus stehen, cos abgeleitet ist -sin, der zweite Summand ist der Cosinus mal die Ableitung vom Sinus, also wieder cos.
+14915 Wie lautet die dritte Ableitung von f(x)=sin^2 x+1/2 cos x ?
\(f(x)=sin^2 x+ \frac{1}{2}cosx\)
\(f'(x)=2sinx\cdot cosx+\frac{1}{2}\cdot(-sinx)\) Kettenregel
\(f'(x)=2uv+\frac{1}{2}\cdot(-sinx)\) Produktregel
\(f''(x)=2\cdot(u'v-uv')+\frac{1}{2}\cdot\frac{d}{dx}(-sinx)\)
\(f''=2\cdot(cosx\cdot cosx-sinx\cdot(-sinx))-\frac{1}{2}\cdot cosx\)
\(f''=2\cdot(cos^2x+sin^2x)-\frac{1}{2}\cdot cosx\)
\(f'''=2\cdot (2\cdot cosx\cdot (-sinx)+2 \cdot sinx\cdot cosx )-\frac{1}{2}\cdot (-sinx)\)
\(f'''=4\cdot ( sinx\cdot cosx -sinx\cdot cosx)+\frac{1}{2}sinx\)
\(f'''=\frac{1}{2}sinx\)
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