Untersuchen Sie, welche Rechtecke bei gegebenem Umfang \( u>0 \) maximalen Flächeninhalt haben, und beweisen Sie Ihre Vermutung. Gehen Sie dabei folgendermaßen vor.
(i) Seien \( x, y \) die Kantenlängen eines beliebigen Rechtecks. Geben Sie Formeln für den Umfang \( u \) und den Flächeninhalt \( A \) des Rechtecks an, und ersetzen Sie \( y \) durch einen Ausdruck mit \( u \) und \( x \), so dass Sie \( A \) als Funktion von \( x \) darstellen können. Betrachten Sie im Folgenden den Definitionsbereich \( I:=\left[0, \frac{u}{2}\right] \) von \( A \).
(ii) Bestimmen Sie alle lokalen Extrema und Extremalstellen von \( A \).
(iii) Geben Sie \( \max _{I} A \) an und begründen Sie, wie Sie auf Ihr Ergebnis kommen.
+14929 Welche Rechtecke haben bei gegebenem Umfang den maximalen Flächeninhalt?
Hallo Gast!
(I)
\(u=2x+2y\quad y=\frac{u-2x}{2}\\ A=xy\\A =x\cdot \frac{u-2x}{2}\\ \color{blue}A=\frac{ux}{2}-x^2\\ A'=-2x+\frac{u}{2}=0\\ \color{blue}x_{max}=\frac{u}{4}\\ y_{max}=\frac{u-2\cdot \frac{u}{4}}{2}\\ \color{blue}y_{max}=\frac{u}{4}\\ A_{max}=\frac{u}{4}\cdot \frac{u}{4}\\ \color{blue}A_{max}=\frac{u^2}{16}\)
Die Fläche des Rechtecks ist maximal, wenn die Seiten gleich lang sind.
(II)
Ist \(f\) zweimal differenzierbar, und gilt neben \(f'(x_0)=0\) auch \(f''(x_0)\neq 0\) , so hat \(f\) an der Stelle \(x_0\) ein lokales Extremum. Ist\(f'(x_0)=0\) und \(f''(x_0)> 0\), handelt es sich dabei um ein lokales Minimum, für \(f''(x_0)<0\) dagegen um ein lokales Maximum.
\(\color{blue}A=\frac{ux}{2}-x^2\\ A'(x)=-2x+\frac{u}{2}=0\\ x_0=\frac{u}{4}\\ Bei\ \frac{u}{4}\ hat\ die\ Funktion\ ein\ Extremum.\\ A''=-2\\ A''(\frac{u}{4})<0.\\ Die\ Funktion\ A(x)\ hat\ bei\ \frac{u}{4}\ ein\ Maximum. \)
(III)
\(A_{max}=\frac{ux_0}{2}-x_0^2= \frac{u}{2}\cdot \frac{u}{4}-(\frac{u}{4})^2\\ A_{max}=\frac{u^2}{8}-\frac{u^2}{16}\\ \color{blue }A_{max}=\frac{u^2}{16}\)
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