+7
Berechne das Volumen eines regelmäßigen sechseckigen Pyramidenstumpfes mit den Grundkante a= 12cm, der Seitenkante s=10 cm und der Körperhöhe h=4 cm.
+26376 Berechne das Volumen eines regelmäßigen sechseckigen Pyramidenstumpfes mit den Grundkante a= 12cm, der Seitenkante s=10 cm und der Körperhöhe h=4 cm.
Ich berechne die Pyramide bis zur Spitze und ziehe die Pyramide über dem Pyramidenstumpf wieder ab und erhalte somit das Volumen vom Pyramidenstumpf:
Bezeichnungen:
\(V_{\text{Pyramide bis zur Spitze}} = 6\cdot (\frac13\cdot G\cdot H)\)
\(G=\frac{a\cdot a\sin{(\alpha)}}{2} \qquad | \qquad \sin{(\alpha)} = \sin{(60^{\circ} )} = \frac{\sqrt{3}}{2}\\ \mathbf{G = \frac{a^2}{4}\sqrt{3}}\)
Strahlensatz: \(x^2+h^2=s^2 \quad \rightarrow x = \sqrt{10^2-4^2}\\ \mathbf{x = \sqrt{84}} \\\\ \frac{x}{4} = \frac{a}{H}\\ H = \frac{4a}{x}\\ \mathbf{H = \frac{4a}{\sqrt{84}}}\)
\(\begin{array}{rcl} V_{\text{Pyramide bis zur Spitze}} &=& 6\cdot (\frac13\cdot G\cdot H) \\ &=& 6\cdot (\frac13 \frac{a^2}{4} \sqrt{3} \cdot \frac{4a} {\sqrt{84}}) \\ &=& \frac{a^3\cdot 2\sqrt{3}}{ \sqrt{84}}\\ &=& \frac{a^3\cdot 2\sqrt{3}}{ 2\sqrt{3}\sqrt{7}}\\ &=& \frac{a^3} {\sqrt{7}} \end{array}\)
Allgemein gilt also: Das Volumen einer regelmäßigen sechseckigen Pyramide lautet:
\(\boxed{~ V_{\text{regelmäßige sechseckige Pyramide}}=\frac{a^3}{\sqrt{7}} ~ } \qquad \text{wobei } a \text{ die Grundkante ist}\)
Das Volumen des Pyramidenstumpfes berechnet sich nun aus der Differenz zweier regelmäßiger sechseckiger Pyramiden. Die Pyramide bis zur Spitze und die Pyramide über dem Pyramidenstumpf.
\(\small{ \begin{array}{rcl} V_{\text{Pyramidenstumpf}} &=& \frac{a^3}{\sqrt{7}}-\frac{a_2^3}{\sqrt{7}} \\ \text{Grundkante der Pyramide auf dem Pyramidenstumpf bis zur Spitze } a_2 &=& a-x=12-\sqrt{84}\\ V_{\text{Pyramidenstumpf}} &=& \frac{12^3}{\sqrt{7}}-\frac{(12-\sqrt{84})^3}{\sqrt{7}} \\ V_{\text{Pyramidenstumpf}} &=& \frac{1}{\sqrt{7}} \left[ 12^3-(12-\sqrt{84})^3 \right]\\ V_{\text{Pyramidenstumpf}} &=& \frac{1}{\sqrt{7}} ( 1728 - 22.7818828056)\\ V_{\text{Pyramidenstumpf}} &=& \frac{1}{\sqrt{7}} (1705.21811719 )\\ \mathbf{V_{\text{Pyramidenstumpf}}} & \mathbf{=} & \mathbf{ 644.511867031 }\\ \end{array} }\)
+14538 Hallo nana1,
bevor ich alle verwendeten Formeln eintippe, gebe ich erst einmal Einzelergebnisse durch.
Vielleicht weißt du ja auch, was herauskommen muss.
Grundkante a(1) = 12 cm
Seitenkante s = 10 cm
Körperhöhe h = 4 cm
Grundfläche G = A(1) =374,123 cm²
Kante der Deckfläche a(2) = 2,8348 cm
Deckfläche D = A(2) = 7,3651 cm²
Volumen V = 578,6407 cm³
Könntest dich ja noch mal melden und nachfragen, was du noch benötigst.
Gruß radix 
!
+14538 Hallo,
habe noch einmal nachgerechnet und wieder D = A(2) = 7,3651 cm² herausbekommen .
\(D=A(2)=\frac{3*a(2)*\sqrt{3}}{2}\)
Gruß radiix !
+12528 Hallo radix, ich habe die Aufgabe auch mal gerechnet. Ich glaube,Du hast bei a2 das Quadrieren vergessen.Soll ich sie mal schicken?
+14538 Guten Abend Omi,
das wäre sehr nett !
Bitte korrigiere meine Antwort.
Es bedankt sich
radix !
+14538 Guten Abend Omi,
vielen Dank für deine ausführlichen Berechnungen.
Bis auf das Volumen habe ich nun auch deine Werte,
Nach mehrmaligem Rechnen komme ich immer zu diesem Ergebnis: \(V=644,5113cm³\)
Gruß radix und eine gute Nacht !
+26376 Berechne das Volumen eines regelmäßigen sechseckigen Pyramidenstumpfes mit den Grundkante a= 12cm, der Seitenkante s=10 cm und der Körperhöhe h=4 cm.
Ich berechne die Pyramide bis zur Spitze und ziehe die Pyramide über dem Pyramidenstumpf wieder ab und erhalte somit das Volumen vom Pyramidenstumpf:
Bezeichnungen:
\(V_{\text{Pyramide bis zur Spitze}} = 6\cdot (\frac13\cdot G\cdot H)\)
\(G=\frac{a\cdot a\sin{(\alpha)}}{2} \qquad | \qquad \sin{(\alpha)} = \sin{(60^{\circ} )} = \frac{\sqrt{3}}{2}\\ \mathbf{G = \frac{a^2}{4}\sqrt{3}}\)
Strahlensatz: \(x^2+h^2=s^2 \quad \rightarrow x = \sqrt{10^2-4^2}\\ \mathbf{x = \sqrt{84}} \\\\ \frac{x}{4} = \frac{a}{H}\\ H = \frac{4a}{x}\\ \mathbf{H = \frac{4a}{\sqrt{84}}}\)
\(\begin{array}{rcl} V_{\text{Pyramide bis zur Spitze}} &=& 6\cdot (\frac13\cdot G\cdot H) \\ &=& 6\cdot (\frac13 \frac{a^2}{4} \sqrt{3} \cdot \frac{4a} {\sqrt{84}}) \\ &=& \frac{a^3\cdot 2\sqrt{3}}{ \sqrt{84}}\\ &=& \frac{a^3\cdot 2\sqrt{3}}{ 2\sqrt{3}\sqrt{7}}\\ &=& \frac{a^3} {\sqrt{7}} \end{array}\)
Allgemein gilt also: Das Volumen einer regelmäßigen sechseckigen Pyramide lautet:
\(\boxed{~ V_{\text{regelmäßige sechseckige Pyramide}}=\frac{a^3}{\sqrt{7}} ~ } \qquad \text{wobei } a \text{ die Grundkante ist}\)
Das Volumen des Pyramidenstumpfes berechnet sich nun aus der Differenz zweier regelmäßiger sechseckiger Pyramiden. Die Pyramide bis zur Spitze und die Pyramide über dem Pyramidenstumpf.
\(\small{ \begin{array}{rcl} V_{\text{Pyramidenstumpf}} &=& \frac{a^3}{\sqrt{7}}-\frac{a_2^3}{\sqrt{7}} \\ \text{Grundkante der Pyramide auf dem Pyramidenstumpf bis zur Spitze } a_2 &=& a-x=12-\sqrt{84}\\ V_{\text{Pyramidenstumpf}} &=& \frac{12^3}{\sqrt{7}}-\frac{(12-\sqrt{84})^3}{\sqrt{7}} \\ V_{\text{Pyramidenstumpf}} &=& \frac{1}{\sqrt{7}} \left[ 12^3-(12-\sqrt{84})^3 \right]\\ V_{\text{Pyramidenstumpf}} &=& \frac{1}{\sqrt{7}} ( 1728 - 22.7818828056)\\ V_{\text{Pyramidenstumpf}} &=& \frac{1}{\sqrt{7}} (1705.21811719 )\\ \mathbf{V_{\text{Pyramidenstumpf}}} & \mathbf{=} & \mathbf{ 644.511867031 }\\ \end{array} }\)
+26376 Das System läßt eine Korrektur nicht mehr zu, wenn man einmal das System verlassen hat.
Ich muss meine Formel zur Berechnung des Volumens einer regelmäßigen sechseckigen Pyramide dahingehend einschränken.
Sie gilt nur in diesem Fall, wenn die Neigung der Pyramide \(\frac{h}{s}=\frac{4}{10} = \frac{2}{5}\) ist.
\(\small{ \boxed{~ V_{\text{regelmäßige sechseckige Pyramide}_{h=4,s=10}} = \frac{a^3}{\sqrt{7}} ~} \text{ gilt nur in unserem Fall mit unseren Zahlen } h = 4 \text{ und } s=10 }\)
