Lim/n->oo(√(n)*(√(n^2+1)-n))

[input]lim( sqrt(n)* (sqrt(n^2+1)-n), n=inf)[/input]

Danke, ich hab auch 0 rausbekommen, aber das macht für mich keinen Sinn. Wie kann eine Reihe, die gegen Unendlich geht und eine Reihe, die nicht 0 ist, im Produkt gegen 0 laufen?

Ich meinte Folge^^

Nimm die 1 raus und schon hast du es. Die ist schließlich vernachlässigbar klein.

Wenn dein limes n gegen unendlich geht, ist √(n^2+1) fast das selbe wie √(n^2), also n (bsp für n= 1.000 ist das √(1.000.001) und das ist fast das selbe wie √(1.000.000). Dann steht in der klammer (n-n), was für n --> unendlich 0 ist. Deshalb ist die Folge eine Nullfolge.

Man kann das ganze auch so umformen, dass es wirklich deutlich wird (ansonsten hast du ja einen Teil, der gegen Unendlich geht (sqrt(n)) und einen Teil der gegen 0 geht (weil sqrt(n²+1) für n ->oo gegen n konvergiert) ).
Also 3. bin. F. besagt:
sqrt(n²+1)² - n² = (sqrt(n²+1) - n) * (sqrt(n²+1)+n)
=> sqrt(n²+1) - n = (sqrt(n²+1)² - n²) / (sqrt(n²+1)+n) =(n²+1-n²) / (sqrt(n²+1)+n) = 1 / (sqrt(n²+1)+n)
Wenn wir jetzt in den Term, ( sqrt(n) * das neu errechnete für sqrt(n²+1) - n einsetzen kommt raus:
√(n)*(√(n^2+1)-n)=√(n)/(√(n²+1)+n) und es ist offensichtlich, dass der Nenner viel schneller wächst. Also ist der Grenzwert 0.