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Die Mittelpunkte der beiden größeren Kreise liegen auf der Winkelhalbierenden \(\overline{AC}\), die zugleich die Diagonale des Quadrats ist. Der Punkt T sei der Berührungspunkt des gegebenen Kreises um U mit der Seite \(\overline{AB}\). Da der Radius \(\overline{UT}\) senkrecht auf \(\overline{AB}\) steht, ist das Dreieck ATU zugleich gleichschenklig und rechtwinklig, und wegen des Satzes des Pythagoras folgt \(|\overline{AU}|=\sqrt{2}R\), der sich auch in \(|\overline{VC}|=\sqrt{2}R\) anwenden lässt; mithin ist

 

\(|\overline{AC}|=|\overline{AU}|+|\overline{UV}|+|\overline{VC}|=\sqrt{2}R+2R+\sqrt{2}R=2R+2\sqrt{2}R\).

 

Auf den Seiten \(\overline{AB} \) und \(\overline{BC} \) mögen N beziehungsweise P diejenigen Punkte sein, für die die Gerade PN die beiden größeren Kreise tangiert. Es ist PN parallel zur Diagonale \(\overline{AC}\), denn die gegebene Situation ist symmetrisch bezüglich Spiegelung an der anderen Diagonale des Quadrats.

 

Ferner sei ADEC das Rechteck, dessen Seite \(\overline{DE}\) man durch Verlängerung von \(\overline{PN}\) erhält. Schließlich seien M der Mittelpunkt und F der auf \(\overline{PN}\) gelegene Berührungspunkt des Innenkreises des Dreiecks BPN.

 

 

Da der Kreis mit Radius R um U seinen Mittelpunkt auf der Grundseite \(\overline{AC}\) des Rechtecks ADEC hat und die gegenüberliegende Seite berührt, ist die Höhe \(|\overline{AD}|=R\). Das Dreieck ADN ist zugleich gleichschenklig und rechtwinklig; insbesondere gilt für seine Katheten

 

\(|\overline{DN}|=|\overline{AD}|=R\),

 

und analog überlegt man sich, dass auch \(|\overline{PE}|=R\) gilt.

 

Da auch das Dreieck BPN zugleich gleichschenklig und rechtwinklig ist, muss F der Mittelpunkt seiner Hypotenuse sein, was \(|\overline{NF}|=|\overline{FP}|=|\overline{BF}|\)impliziert. Damit wird man auf eine zweite Formel für geführt, nämlich

 

\(|\overline{AC}|=|\overline{DE}|=|\overline{DN}|+|\overline{NF}|+|\overline{FP}|+|\overline{PE}|=2R+2|\overline{BF}|\).

 

Im Zusammenspiel mit (1) zeigt dies

 

\(|\overline{BF}|=\sqrt{2}R\).

 

Wegen

 

\(|\overline{BF}|=|\overline{BM}|+|\overline{MF}|=\sqrt{2}r+r=(\sqrt{2}+1)r\)

 

folgt hieraus

 

\(r=\frac{\sqrt{2}R}{\sqrt{2}+1}=\frac{\sqrt{2}(\sqrt{2}-1)R}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)}=(2-\sqrt{2})R\).

 

QED

04.02.2024