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Wie bilde ich die Stammfunktion von f(x) = sqrt(x^2+4). Bitte mit ausführlichen Rechenweg. Dankeschön. :)

 07.07.2019
 #1
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Wie bilde ich die Stammfunktion von f(x) = sqrt(x^2+4). Bitte mit ausführlichen Rechenweg.

 

Hallo Evan!

 

\(f(x)=\sqrt{x^2+4}\)

 

\(g(x)= \int \! \sqrt{x^2+4} \ dx \)

 

\(g(x)=2\ln\left(\left|\sqrt{x^2+4}+x\right|\right)+x\sqrt{\dfrac{x^2}{4}+1}+C\)

 

Rechenweg anzeigen

 

\( \int \! \sqrt{x^2+4} \ dx \)

Trigonometrische Substitution durchführen:

Substituiere x=2tan(u) ⟶ u=arctan(x²) , dx=2sec²(u)du

Rechenweg

 \(=\int2sec^2(u)\sqrt{4tan^2(u)+4}du\)

Vereinfachen mit Hilfe von 4tan²(u)+4=4sec²(u) :

 \(=4\int sec^3(u)du\)

Wir lösen nun:

\(\int sec^3(u)du\)

Reduktionsformel anwenden

\({{\displaystyle\int}\sec^{\mathtt{n}}\left(u\right)\,\mathrm{d}u=\class{steps-node}{\cssId{steps-node-2}{\dfrac{\mathtt{n}-2}{\mathtt{n}-1}}}{\displaystyle\int}\sec^{\mathtt{n}-2}\left(u\right)\,\mathrm{d}u+\dfrac{\sec^{\mathtt{n}-2}\left(u\right)\tan\left(u\right)}{\mathtt{n}-1}} \)

mit n = 3

\(=\dfrac{\sec\left(u\right)\tan\left(u\right)}{2}+\class{steps-node}{\cssId{steps-node-3}{\dfrac{1}{2}}}{\displaystyle\int}\sec\left(u\right)\,\mathrm{d}u \)

 

Wir lösen nun:

\(\int sec(u)du\)   (dies ist ein Standardintegral)

\(=ln(tan(u)+sec(u))\)

Gelöste Integrale einsetzen

\(\dfrac{\sec\left(u\right)\tan\left(u\right)}{2}+\class{steps-node}{\cssId{steps-node-4}{\dfrac{1}{2}}}{\displaystyle\int}\sec\left(u\right)\,\mathrm{d}u \)

\(=\dfrac{\ln\left(\tan\left(u\right)+\sec\left(u\right)\right)}{2}+\dfrac{\sec\left(u\right)\tan\left(u\right)}{2} \)

Gelöste Integrale einsetzen

\(\class{steps-node}{\cssId{steps-node-5}{4}}{\displaystyle\int}\sec^3\left(u\right)\,\mathrm{d}u \)

\(=2\ln\left(\tan\left(u\right)+\sec\left(u\right)\right)+2\sec\left(u\right)\tan\left(u\right) \)

Rücksubstitution von \(u=arctan \frac{x}{2}\), verwende:

\(\tan\left(\class{steps-node}{\cssId{steps-node-6}{\arctan\left(\dfrac{x}{2}\right)}}\right)=\dfrac{x}{2} \)

\(\sec\left(\class{steps-node}{\cssId{steps-node-7}{\arctan\left(\dfrac{x}{2}\right)}}\right)=\sqrt{\dfrac{x^2}{4}+1} \)

\(=2\ln\left(\sqrt{\dfrac{x^2}{4}+1}+\dfrac{x}{2}\right)+x\sqrt{\dfrac{x^2}{4}+1} \)

Die Aufgabe ist gelöst. Wende die Betragsfunktion auf die Argumente von Logarithmusfunktionen an, um den Gültigkeitsbereich der Stammfunktion zu erweitern:

\({\displaystyle\int}\sqrt{x^2+4}\,\mathrm{d}x \)

\(=2\ln\left(\left|\sqrt{\dfrac{x^2}{4}+1}+\dfrac{x}{2}\right|\right)+x\sqrt{\dfrac{x^2}{4}+1}+C \)

Umschreiben/vereinfachen

\(=2\ln\left(\left|\sqrt{x^2+4}+x\right|\right)+x\sqrt{\dfrac{x^2}{4}+1}+C \)

 

laugh   !

 07.07.2019
bearbeitet von asinus  09.07.2019

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