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x^5+3x^4+8:3x^3-x-1:3 Funktion fünften Grades Nullstellen errechnen

 
Guest 07.12.2017
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 #1
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f(x)=x^5+3x^4+(8:3)x^3-x-1:3   Nullstellen errechnen

 

Hallo Gast!

 

\(x^5+3x^4+(8/3)x^3-x-1/3=0\)

 

Erste vermutete Nullstelle:   x1= - 1

 

 \((x^5+3x^4+(8/3)x^3-x-1/3): (x+1)\)

                                                   \(=x^4+2x^3+(2/3)x^2-(2/3)x-1/3\)   

  \(\underline{x^5\ +\ x^4}\)                         

             \(2x^4+(8/3)x^3\) 

             \(\underline{2x^4+\ 2\ x^3}\)

                         \((2/3)x^3-x\)

                         \(\underline{(2/3)x^3+(2/3)x^2}\)

                                          \(-(2/3)x^2-x \)

                                          \(\underline{-(2/3)x^2-(2/3)x}\)

                                                                 \(-(1/3)x-1/3\)

                                                                 \(\underline{-(1/3)x-1/3}\)

                                                                                           \(0\)

\(x_1=-1\)

 

Die weiteren Nullstellen errechnen sich aus der Gleichung                                                                          

\(x^4+2x^3+(2/3)x^2-(2/3)x-1/3=0\)

 

2. vermutete Nullstelle:   x2 = - 1

 

\((x^4+2x^3+(2/3)x^2-(2/3)x-1/3) : (x+1)\)

                                             \(=x^3+x^2-(1/3)x-1/3\)

 \(\underline{x^4+x^3}\)

          \(x^3\ +\ (2/3)x^2\)

          \(\underline{x^3\ +\ x^2}\)

                 \(-(1/3)x^2-(2/3)x\)

                 \(\underline{-(1/3)x^2-(1/3)x}\)

                                     \(-(1/3)x-1/3\)

                                     \(\underline{-(1/3)x-1/3}\)

                                                               0

\(x_2 = -1\) 

 

3. vermutete Nullstelle:   x3 = - 1

 

\((x^3+x^2-(1/3)x-1/3):(x+1)\) \(=x^2-1/3\) 

 \(\underline{x^3+x^2}\)

            \(0\ -\ (1/3)x-1/3\)

                  \(\underline{-(1/3)x-1/3}\)

                                            0

\(x_3=-1\) 

 

Nullstellen 4 und 5

 

\(x^2-\frac{1}{3}=0\)

\(x=\pm\sqrt{\frac{1}{3}}\)

\(x_4=-\sqrt{\frac{1}{3}}=-0,5773502691896257\\ x_5=+\sqrt{\frac{1}{3}}=0,5773502691896257\)

                                     

Eine Nullstelle, errechnet mit

http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/gleichungssysteme2.htm

\(x_5= 0,5773502691896257\)

 

Nullstellen der Funktion  \(x^5+3x^4+(8/3)x^3-x-1/3=0\) 

 

\(x^5+3x^4+(8/3)x^3-x-1/3\\ \color{blue}=(x+1)^3\cdot (x+\sqrt{\frac{1}{3}})\cdot (x-\sqrt{\frac{1}{3}}) =0\)

 

\(\large \mathbb{L}=\{-1;-1;-1;-\sqrt{\frac{1}{3}};\sqrt{\frac{1}{3}}\}\)

 

8.12.

Guten Morgen,

heureka hatte bereits ganze Arbeit geleistet.

Danke heureka!

laugh  !

 
asinus  08.12.2017
bearbeitet von asinus  08.12.2017
bearbeitet von asinus  08.12.2017
bearbeitet von asinus  09.12.2017
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 #2
avatar+18777 
+2

x^5+3x^4+8:3x^3-x-1:3 Funktion fünften Grades Nullstellen errechnen

 

Brüche entfernen:

\(\begin{array}{|rcll|} \hline x^5+3x^4+\frac{8}{3}x^3-x-\frac{1}{3} &=& 0 \quad | \quad \cdot 3\\ \mathbf{3x^5+9x^4+8x^3-3x-1} &=& \mathbf{0} \\ \hline \end{array}\)

 

Vermutete Lösung: \(x_0 =\pm1\)

\(\begin{array}{rcrrcl} x_0 &=& 1: & 3+9+8-3-1 &\ne& 0 \\ x_0 &=& -1: & -3+9-8+3-1 &=& 0 ~ \checkmark \\ \end{array}\)

 

1. Lösung: \(x_0=-1\)

 

weitere Lösungen:

\(\begin{array}{rcll} (3x^5+9x^4+8x^3-3x-1):(x-x_0) \quad | \quad x_0=-1 \\ \end{array}\)

\(x^5+3x^4+\frac{8}{3}x^3-x-\frac{1}{3} = \frac13\cdot(x+1)(3x^4+6x^3+2x^2-2x-1) \)

\(\begin{array}{|rcll|} \hline \mathbf{3x^4+6x^3+2x^2-2x-1} &=& \mathbf{0} \\ \hline \end{array}\)

 

Vermutete Lösung: \( x_0 =\pm1\)

\(\begin{array}{rcrrcl} x_0 &=& 1: & 1+6+2-2-1 &\ne& 0 \\ x_0 &=& -1: & 3-6+2+2-1 &=& 0 ~ \checkmark \\ \end{array}\)

 

2. Lösung: \(x_0=-1\)

 

weitere Lösungen:
\(\begin{array}{rcll} (3x^4+6x^3+2x^2-2x-1):(x-x_0) \quad | \quad x_0=-1 \\ \end{array}\)

\(x^5+3x^4+\frac{8}{3}x^3-x-\frac{1}{3} = \frac13\cdot(x+1)\cdot(x+1)(3x^3+3x^2-x-1) \)

\(\begin{array}{|rcll|} \hline \mathbf{3x^3+3x^2-x-1} &=& \mathbf{0} \\ \hline \end{array}\)

 

Vermutete Lösung: \(x_0 =\pm1\)

\(\begin{array}{rcrrcl} x_0 &=& 1: & 3+3-1-1 &\ne& 0 \\ x_0 &=& -1: & -3+3+1-1 &=& 0 ~ \checkmark \\ \end{array}\)

 

3. Lösung: \(x_0=-1\)

 

weitere Lösungen:

\(\begin{array}{rcll} (3x^3+3x^2-x-1):(x-x_0) \quad | \quad x_0=-1 \\ \end{array}\)

 

\(x^5+3x^4+\frac{8}{3}x^3-x-\frac{1}{3} = \frac13\cdot(x+1)\cdot(x+1)\cdot(x+1)(3x^2-1) \)

\(\begin{array}{|rcll|} \hline \mathbf{3x^2-1} &=& \mathbf{0} \\ 3x^2 &=& 1 \\ x^2 &=& \frac13 \\ x &=& \pm \sqrt{\frac13} \\ \hline \end{array} \)

 

4. Lösung: \(x_0= \sqrt{\frac13}\)
5. Lösung: \(x_0=- \sqrt{\frac13}\)

 

Die 5 Lösungen lauten:

\(x_1 = -1 \qquad x_2 = -1 \qquad x_3 = -1 \qquad x_4 = \sqrt{\frac13} \qquad x_5 = -\sqrt{\frac13} \)

 

\(x^5+3x^4+\frac{8}{3}x^3-x-\frac{1}{3} = (x+1)^3(x-\sqrt{\frac13})(x+\sqrt{\frac13}) \)

 

laugh

 
heureka  08.12.2017
bearbeitet von heureka  11.12.2017
bearbeitet von heureka  11.12.2017

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