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Wie berechne ich die Scheitelpunktform? Und wie die Normalform?

Guest 27.09.2017
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Quadratische Gleichung

a) Wie berechne ich die Scheitelpunktform?

b) Und wie die Normalform?

 

Allgemeine Form und Scheitelform einer quadratischen Funktion

 

a) Allgemeine Form  in    Scheitelform  umwandeln.

  f(x) = ax2 + bx +c   →    f(x) = a (x − d)2 + e

Die Umwandlung von der allgemeinen Form zur Scheitelform erfolgt mit quadratischer Ergänzung.

Beispiel:  f(x) = 1x2 + 2x + 5

                         a        b      c

Normalform

f(x) = x2 + 2x + 5                          

\(=x^2+2x\ {\color{blue}+\ (\frac{2}{2})^2-(\frac{2}{2})^2}+5\)    Quadratische Ergänzung

\(=(x+\frac{2}{2})^2-(\frac{2}{2})^2+5\)                in eine Binomische Formel umschreiben.  

\(=(x+1)^2-1+5\)

Scheitelform

\(f(x)=(x+{\color{red}1})^2+\color{red}4\)   

\(f(x)=a(x{\color{red}−d})^2 +\color{red}e\)

Aus ihr kann man den Scheitelpunkt S  der Parabel direkt herauslesen:

Er hat die Koordinaten S (d | e) → Scheitelpunkt: S (−1 | 4)

 

b) Scheitelform in Normalform umwandeln

Scheitelform

\(f(x)=a(x-d)^2+e\\ f(x)=1(x-1)^2+4\)                \(\color{Yellow}.\\ Klammer\ ausrechnen\)

\(=1(x^2-2x+1)+4\\ =x^2-2x+1+4\)   

Normalform

\(f(x)=1x^2-2x+5\\ f(x)=ax^2 -2x +5\)   

 

Graphische  Darstellung  f(x) = x2 - 2x + 5

     

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asinus  27.09.2017
bearbeitet von asinus  27.09.2017
bearbeitet von asinus  27.09.2017
 #2
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Allgemeine Lösung

 

\({\color{BrickRed}f(x)=ax^2+bx+c\ Normalform\\} f(x)=x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}\\ f(x)=x^2+\frac{b}{a}x+(\frac{b}{2a})^2-(\frac{b}{2a})^2+\frac{c}{a}\\ \color{blue}f(x)=(x+\frac{b}{2a})^2-\frac{b^2}{4a^2}+\frac{c}{a}\ Scheitelpunktform\)

 

\(S\ (\ -\frac{b}{2a}\ |\ \frac{c}{a}-\frac{b^2}{4a^2}\ )\\ \)

laugh  !

asinus  28.09.2017

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