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Aufgabenstellung: Beweise durch vollständige Induktion die folgende Formel für die Summe der ersten n Quadrate:

 

\(\sum_{\substack{ n\\ k=1 }} k*(k-1) = \frac{(n-1)*n*(n+1)}{3}\)

 

Laufindex k mit 1 und Endwert n, das konnte ich nicht so gut darstellen in LaTeX..

 

Ich hoffe es kann jemand helfen, ich schaff's nicht weiter als zur Induktionsbehauptung..

Guest 14.03.2017
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5+0 Answers

 #1
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Hi! 

Zu zeigen: \(\sum_{k=1}^n k(k-1) = {(n-1)n(n+1) \over 3} \ \forall n \in \mathbb{N}\)

Induktionsanfang: n=1

1*0 = 0*1*2\3 ok

Induktionsschritt n -> n+1

\(\sum_{k=0}^{n+1} k(k-1) = \\ \sum_{k=0}^{n} k(k-1) +(n+1)n = \\ {(n-1)n(n+1) \over 3}+n(n+1) = \\ { (n-1)n(n+1) +3n(n+1) \over 3} = \\ {(n-1+3)n(n+1) \over 3} = \\ {(n+2)n(n+1) \over 3} = \\ { ((n+1)-1)(n+1)((n+1)+1) \over 3}\)

In Zeile 2 ziehe ich den letzten Summanden aus der Summe, die Induktionsvoraussetzung brauche ich in Zeile 3. 

Am Ende habe ich die gewünschte Formel, mit n+1 für n eingesetzt -> Induktionsschritt beendet. 

Ich hoffe, das war nachvollziehbar.

Probolobo  14.03.2017
 #2
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übrigens: für meine Summen habe ich \sum_{k=1}^n verwendet, dann steht der Index oben. \cdot liefert einen schöneren "Malpunkt" als der Stern

\(\sum_{k=0}^n k \cdot (k-1)\)

Probolobo  14.03.2017
 #3
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Probolobo,

Your LaTex is not displaying for me.

Is it just me or are other people having this problems as well?

Melody  14.03.2017
 #4
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Vielen Dank Probolobo, zu mal für die Lösung und auch für die LaTeX Tipps!

 

Aber müsste es in der letzten Zeile nicht einmal 

 

\((n - 1)\)

 

statt

 

\((n + 1)\)

 

sein?

 

@ Melody: i'm seeing Probolobo's LaTeX 

Gast 14.03.2017
 #5
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Passt schon so - in der zu beweisenden Formel steht ja  " (n-1)n(n+1) ", im induktionsschritt soll ja dann überall statt n n+1 stehen. Das liefert n(n+1)(n+2), genau wie im Endergebnis.

Probolobo  14.03.2017

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