+0  
 
+1
79
2
avatar

sin(3y)+sin(2y+ (Pi/3))=0

Ich muss dazu die Lösungsmenge finden, könnt ihr helfen?

 
Guest 03.12.2017
Sortierung: 

2+0 Answers

 #1
avatar+7155 
0

sin(3y)+sin(2y+ (Pi/3))=0
Ich muss dazu die Lösungsmenge finden.

 

Hallo Gast!

 

\(sin(3y)+sin(2y+ (\pi/3))=0\)

 

Mit den Additionstheoremen lassen sich trigonometrische Funktionen

mit alleinstehendem Argument y erstellen:

 

\(sin(3y)=3 sin(y)-4sin^3(y)\)

 

\(sin(2y) = 2 · sin(y) · cos(y)\)

\(sin(2y)=2\ sin (y)\cdot \sqrt{1-sin^2(y)}\)

 

\(cos(2y) = cos^2(y) - sin^2(y)\)

\(cos(2y) = 1-2\ sin^2(y) \)

 

 

\(sin(X ± Y) = sin(X) · cos(Y) ± sin(Y) · cos(X)\)

\(sin(2y ± \pi/3) = [sin(2y)] · cos(\pi/3) ± sin(\pi/3) · [cos(2y) ]\)

 

 

\(sin(2y ± \pi/3) = [ 2 · sin(y) · cos(y)] · cos(\pi/3)\\ \ ± sin(\pi/3) · [cos^2(y) - sin^2(y)]\)

 

\([sin(3y)]+[sin(2y+ (\pi/3))]=0\)

 

\([3 sin(y)-4sin^3(y)]+[2 · sin(y) · cos(y)] · cos(\pi/3)\\ \ ± sin(\pi/3) · [cos^2(y) - sin^2(y)]=0\)

 

\(cos^2 y = 1-sin^2y\\ cos\ y=\sqrt{1-sin^2y}\)

 

Nach dem Ersetzen von cos (y) und cos²(y)  durch die

entsprechenden Terme entsteht eine Gleichung 3. Grades

mit der Variablen sin y.

Morgen geht es weiter.

laugh  !

 
asinus  04.12.2017
bearbeitet von asinus  04.12.2017
bearbeitet von asinus  05.12.2017
bearbeitet von asinus  06.12.2017
 #2
avatar+18777 
+1

Hallo asinus,

 

aus den Additionstheoremen lassen sich Identitäten ableiten,

mit deren Hilfe die Summe zweier trigonometrischer Funktionen als Produkt dargestellt werden kann:

 

\(\begin{array}{|rcll|} \hline \sin(u) + \sin(v) = 2\cdot \sin(\frac{u+v}{2})\cdot \cos(\frac{u-v}{2}) \\ \hline \end{array}\)

 

Dank dieser Faktorisierung geht der Ansatz zur Lösung recht einfach, doch die Lösungenmenge zu bestimmen

ist doch recht mühsam:

 

\(\begin{array}{|lrcll|} \hline &\sin(3y)+\sin(2y+ \frac{\pi}{3} ) &=& 0 \\\\ &\sin(3y)+\sin(2y+ \frac{\pi}{3}) = 2\cdot \sin\left(\frac{5y+\frac{\pi}{3}}{2}\right)\cdot \cos\left(\frac{y- \frac{\pi}{3}}{2}\right) &=& 0\\ & 2\cdot \sin\left(\frac{5y+\frac{\pi}{3}}{2}\right)\cdot \cos\left(\frac{y- \frac{\pi}{3}}{2}\right) &=& 0 & |~ : 2 \\ &\underbrace{\sin\left(\frac{5y+\frac{\pi}{3}}{2}\right)}_{=0}\cdot \underbrace{\cos\left(\frac{y- \frac{\pi}{3}}{2}\right)}_{=0} &=& 0 \\\\ (1) & \sin\left(\frac{5y+\frac{\pi}{3}}{2}\right) &=& 0 \\ & \Rightarrow \text{Lösungenmenge für } y \\ (2) & \cos\left(\frac{y- \frac{\pi}{3}}{2}\right) &=& 0 \\ & \Rightarrow \text{weitere Lösungenmenge für } y \\ \hline \end{array}\)

 

laugh

 
heureka  05.12.2017

21 Benutzer online

avatar
avatar
avatar
Wir verwenden Cookies um Inhalt und Werbung dieser Webseite zu personalisieren und Social Mediainhalte bereitzustellen. Auch teilen wir Nutzungverhalten unserer Webseite mit unseren Werbe-, Analyse- und Social Media- Partnern.  Siehe Details