Hallo,
kann mir bitte jemand zeigen, wie ich diese Textaufgabe lösen muss?(Bitte ggf. mit Rechnung)
PS: Es handelt sich hier nicht um eine Hausaufgabe. Ich kann nur jetzt nicht fragen, weil noch Ferien sind. :D
+14903 Textaufgabe zu Wendepunkte
Hallo Gast!
Zuerst bestimmen wir die Funktionsgleichung von f "(x).
f "(x) ist die zweite Ableitung der Stammfunktion f(x).
\(f''(x)=ax^3+bx^2+cx+d\)
\(P_1\ (0,8;2),\ P_2\ (0;0),\ P_3\ (2;0),\ P_4\ (4;0)\)
\(P_1:\ \ 2=0,512a+0,64b+0,8c\ [\cdot 5\ ]\\ P_2:\ \ 0=d\\ P_3:\ \ 0=8a+4b+2c\ [\cdot 2\ ]\\ P_4:\ \ 0=64a+16b+4c\) \( multipl. (5)\\ \ \\ multipl.(2)\)
\(10=2,56a+3,2b+4c\\\color{blue} 0=d\\ 0=16a+8b+4c\\ 0=64a+16b+4c\) \((10)\ nach\ rechts\\(4c)\ nach\ links \)
\(-4c=2,56a+3,2b-10\\ -4c=16a+8b\\ -4c=64a+16b\) \(aus\ drei\ Gleichungen\ mach\ zwei\)
\(2,56a+3,2b-10=16a+8b\\ 2,56a+3,2b-10=64a+16b\\\) (add./subtr.) (-10 bleibt links)
\(-10=13,44a+4,8b\ \ [\times 2\frac{2}{3}]\\ -10=61,44a+12,8b\) \(multipl. \frac{8}{3}=2,\overline {66}\)
\(-26,6\overline6=35,84a+12,8b\\ -10=61,44a+12,8b\ \color{blue} [\ subtr.]\\ ----------- \\ -16,6\overline6=-25,6a\ \color{blue}[\ isoliere\ a\ ]\\ -\frac{833}{50}=-\frac{128}{5}a\\ a=\frac{833}{50}\times\frac{5}{128}=\frac{833}{1280}\\ \)
\(a=\frac{833}{1280}=0,65078125\)
\(-10=61,44a+12,8b\\ b=-\frac{10+61,44a}{12,8}=-\frac{10+61.44\times 0,65078125}{12,8}\) \(a\ einsetzen\)
\(b=-3,905\)
\(-4c=16a+8b \ \color{blue}[\ a\ und\ b\ einsetzen\\ -4c=16\times 0,65078125+8\times (-3,905)\\ -4c=-20,8275\)
\(c=5,206875\)
\(\large f''(x)=ax^3+bx^2+cx+d\)
\(\large f''(x)=0,65078125x^3-3,905x^2+5,206875x\)
Um zur ersten Ableitung der Stammfunktion f(x),
nämlich f '(x) , zu kommen, wird f ''(x) integriert.
Potenzgesetz: \(\int \ x^n\ dx =\frac{1}{n+1}\ x^{n+1}+C\)
\(f'=\int f''(x) \, dx +C\)
\(f'(x)=\int (0,65078125x^3-3,905x^2+5,206875x)\ \large dx +C\)
\(\large f'(x)=\int (\frac{0,65078125x^4}{4}-\frac{3,905x^3}{3}+\frac{5,206875x^2}{2})\ dx +C\)
\(\large f'(x)=0,1626953125\ x^4-1,301\overline{66}\ x^3+2,6034376x^2 +C\)
Antwort zu Frage a)
Die Steigung der Stammfunktion f(x) nimmt im Bereich {-0,3 < x < 0} ab
und im Bereich {0 < x < 2} zu. Bei {x=0} ist ein Sattelpunkt.
Der Graph ist im Bereich {-0,3 < x < 2} keine Rechtskurve.
Antwort zu Frage b)
Der Graph de Stammfunktion hat bei {x=2} eine Wendestelle.
f '(2) ist ein Maximum (größte Steigung), f "(2) = 0.
Antwort zu Frage c)
Der Graph der Stammfunktion hat bei {x=0} einen Sattelpunkt.
Erläutert bei Antwort a).
Antwort zu Frage d)
Ja, der Graph der Stammfunktion änndertsein Krümmungsverhalten.
Bei {x=0,8} hat f '(x) eine Wendestelle, f "(x) ein Maximum.
! Für ein Dankeschön wäre ich dankbar.
