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Hallo,

 

kann mir bitte jemand zeigen, wie ich diese Textaufgabe lösen muss?(Bitte ggf. mit Rechnung) 

 

PS: Es handelt sich hier nicht um eine Hausaufgabe. Ich kann nur jetzt nicht fragen, weil noch Ferien sind. :D

Guest 10.08.2017
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Textaufgabe zu Wendepunkte

 

Hallo Gast!

 

Zuerst bestimmen wir die Funktionsgleichung von f "(x).

f "(x) ist die zweite Ableitung der Stammfunktion f(x).

 

\(f''(x)=ax^3+bx^2+cx+d\)

 

\(P_1\ (0,8;2),\ P_2\ (0;0),\ P_3\ (2;0),\ P_4\ (4;0)\)

 

\(P_1:\ \ 2=0,512a+0,64b+0,8c\ [\cdot 5\ ]\\ P_2:\ \ 0=d\\ P_3:\ \ 0=8a+4b+2c\ [\cdot 2\ ]\\ P_4:\ \ 0=64a+16b+4c\)   \( multipl. (5)\\ \ \\ multipl.(2)\)

 

\(10=2,56a+3,2b+4c\\\color{blue} 0=d\\ 0=16a+8b+4c\\ 0=64a+16b+4c\)                   \((10)\ nach\ rechts\\(4c)\ nach\ links \)

 

\(-4c=2,56a+3,2b-10\\ -4c=16a+8b\\ -4c=64a+16b\)     \(aus\ drei\ Gleichungen\ mach\ zwei\)

 

\(2,56a+3,2b-10=16a+8b\\ 2,56a+3,2b-10=64a+16b\\\)   (add./subtr.)   (-10 bleibt links) 

 

\(-10=13,44a+4,8b\ \ [\times 2\frac{2}{3}]\\ -10=61,44a+12,8b\)        \(multipl. \frac{8}{3}=2,\overline {66}\)

 

\(-26,6\overline6=35,84a+12,8b\\ -10=61,44a+12,8b\ \color{blue} [\ subtr.]\\ ----------- \\ -16,6\overline6=-25,6a\ \color{blue}[\ isoliere\ a\ ]\\ -\frac{833}{50}=-\frac{128}{5}a\\ a=\frac{833}{50}\times\frac{5}{128}=\frac{833}{1280}\\ \)

 

\(a=\frac{833}{1280}=0,65078125\)    

 

 

\(-10=61,44a+12,8b\\ b=-\frac{10+61,44a}{12,8}=-\frac{10+61.44\times 0,65078125}{12,8}\)   \(a\ einsetzen\)

 

\(b=-3,905\)

 

 

\(-4c=16a+8b \ \color{blue}[\ a\ und\ b\ einsetzen\\ -4c=16\times 0,65078125+8\times (-3,905)\\ -4c=-20,8275\)

 

\(c=5,206875\)

 

\(\large f''(x)=ax^3+bx^2+cx+d\)

 

\(\large f''(x)=0,65078125x^3-3,905x^2+5,206875x\)

 

Um zur ersten Ableitung der Stammfunktion f(x),

nämlich f '(x) , zu kommen, wird f ''(x) integriert.

 

Potenzgesetz: \(\int \ x^n\ dx =\frac{1}{n+1}\ x^{n+1}+C\)

 

\(f'=\int f''(x) \, dx +C\)

 

\(f'(x)=\int (0,65078125x^3-3,905x^2+5,206875x)\ \large dx +C\)

 

\(\large f'(x)=\int (\frac{0,65078125x^4}{4}-\frac{3,905x^3}{3}+\frac{5,206875x^2}{2})\ dx +C\)

 

\(\large f'(x)=0,1626953125\ x^4-1,301\overline{66}\ x^3+2,6034376x^2 +C\)

 

Antwort zu Frage a)

Die Steigung der Stammfunktion f(x) nimmt im Bereich {-0,3 < x < 0} ab

und im Bereich {0 < x < 2} zu. Bei {x=0} ist ein Sattelpunkt.

Der Graph ist im Bereich {-0,3 < x < 2} keine Rechtskurve.

 

Antwort zu Frage b)

Der Graph de Stammfunktion hat bei {x=2} eine Wendestelle.

f '(2) ist ein Maximum (größte Steigung), f "(2) = 0.

 

Antwort zu Frage c)

Der Graph der Stammfunktion hat bei {x=0} einen Sattelpunkt.

Erläutert bei Antwort a).

 

Antwort zu Frage d)

Ja, der Graph der Stammfunktion änndertsein Krümmungsverhalten.

Bei {x=0,8} hat f '(x) eine Wendestelle, f "(x) ein Maximum.

 

laugh  !    Für ein Dankeschön wäre ich dankbar.

asinus  11.08.2017
bearbeitet von asinus  11.08.2017
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