+1119 Hallo Gast:
Deine Frage zur Umformung in die Scheitelpunktsform:
\(2x^2+x+3\)[1]
Zunächst müssen wir so umstellen, dass vor dem x^2 eine 1 steht
\(\color{blue}x^2+\color{red}\frac{x}{2}+\color{green}\frac{3}{2}\)[2]
Nun weißt du dass die Scheitelpunktsform immer so aussieht:
\((\color{blue}x\color{black}+e)^2+v \)[3]
Hier verstehckt sich also die Binomische Formel:
\((\color{blue}a\color{black}+b)^2=\color{blue}a^2\color{red}+2ab+\color{black}b^2\)[4]
Oder mit unseren Variablen:
\((\color{blue}x+\color{black}e)^2+v=\color{blue}x^2+\color{red}2ex+\color{green}e^2+v\)[5]
Ich habe dir mal die Zahlen so markiert, wie du sie gleichsetzten musst
Es fehlen nun die Variablen e und v:
Für e: Wir sehen, dass e in 2ex steht. Also setzten wir das mit unserer Aufgelösten Scheitelpunktsform gleich:
\(\color{red} \frac{x}{2}=2ex\)[6]
\(\color{red}e=\frac{1}{4}\)[7]
So sieht unsere Scheitelpunktsform schon mal so aus:
\((x+\frac{1}{4})^2+v\)[8]
Berechnung v: Wenn wir die Binomische Formel [8] auflösen mit unseren Variablen würde rauskommen:
\(x^2+\frac{x}{2}+\frac{1}{16}\)[9]
Die Ersten zwei Therme stimmen ja schon, aber die 1/16 ist ja nicht gleich 3/2. Wir haben also kurz gesagt 1/16 zu viel berechnet. Das heißt wir müssen, das was wir zu viel berechnet haben von 3/2 abziehen und das ist unser v:
\(\color{green}e^2+v=\frac{3}{2}\)[10]
\(\color{green} v=\frac{3}{2}-e^2\)
\(v=\frac{3}{2}-\frac{1}{16}=\frac{24}{16}-\frac{1}{16}=\frac{23}{16}\)[12]
Die komplette Scheitelpunktsform ist demnach:
\((x+\frac{1}{4})^2+\frac{23}{16}\)[13]
Indem du das nun auflöst, kannst du das leicht nachprüfen.
gruß gandalfthegreen
+1119 noch eine Ergänzung:
1. ich habe die Variablen e und v mit bedacht gewählt weil:
Das v ist die Verschiebung des Scheitelpunktes nach links und rechts. steht v=3 bedeutet das, eine Verschiebung um 3 Einheiten nach LINKS.
Das e ist die Stelle des Scheitelpunktes selber, es ist also die Extremstelle. Aus diesem grund kannst du auch e wie ich finde einfacher berechnen:
Die Extremstelle bekommst du indem du die erste Ableitung bildest und dann null setzt
\(f(x)=2x^2+x+3\\ f´(x)=4x+1\)
bzw:
\(f(x)=x^2+\frac{x}{2}+\frac{3}{2}\\ f´(x)=2x+\frac{1}{2}\)
Wenn man die Ableitungen null setzt kommt als "Nullstelle" jeweils :
\(x=\frac{1}{4}=e\)
raus. Das ist die Extremstelle, also unser e.
gruß
gandalfthegreen
