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21.07.2017
 #2
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asinus 21.07.2017
 #1
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+1

lim n→∞{(1− 3/n)^3n +3*n'te√3n}

 

\(\lim \limits_{x\to 0} { \Big( \left( 1- \frac{3}{n} \right)^{3n} +3 \cdot \sqrt[n]{3n} \Big) }= \ ? \)

 

\(\begin{array}{|rcll|} \hline && \lim \limits_{x\to 0} { \Big( \left( 1- \frac{3}{n} \right)^{3n} +3 \cdot \sqrt[n]{3n} \Big) } \\ &=& \lim \limits_{x\to 0} {\Big( \left( 1- \frac{3}{n} \right)^{3n} \Big) } + \lim \limits_{x\to 0} {\Big( 3 \cdot \sqrt[n]{3n} \Big) } \\ \hline \end{array} \)

 

\(y=\lim \limits_{x\to 0} {\Big( \left( 1- \frac{3}{n} \right)^{3n} \Big) }= \ ?\)

\(\begin{array}{|rcll|} \hline \ln(y) &=& \ln\Big( \lim \limits_{x\to 0} \Big( \left( 1- \frac{3}{n} \right)^{3n} \Big) \Big) \\ &=& \lim \limits_{x\to 0} \Big( \ln \Big( \left( 1- \frac{3}{n} \right)^{3n} \Big) \Big) \\ &=& \lim \limits_{x\to 0} \Big( 3n\ln \left( 1- \frac{3}{n} \right) \Big) \\ &=& \lim \limits_{x\to 0} \Big( \frac{3\ln \left( 1- \frac{3}{n} \right)} {n^{-1}} \Big) \\\\ && \text{Regel von de l’Hospital anwenden} \\ && \text{Die 1. Ableitung von } 3\cdot \ln(1-3\cdot n^{-1}) \text{ lautet } 3 \cdot \frac{ [(-3)(-1)\cdot n^{-2} ] } {1-\frac{3}{n} } \\\\ &=& \lim \limits_{x\to 0} \Big( \frac{3 \cdot \frac{ [(-3)(-1)\cdot n^{-2} ] } {1-\frac{3}{n} } } {(-1)\cdot n^{-2}} \Big) \\ &=& \lim \limits_{x\to 0} \Big( \frac{ 3 \cdot[(-3)(-1)\cdot n^{-2} ] } { (1-\frac{3}{n})(-1)\cdot n^{-2} } \Big) \\ &=& \lim \limits_{x\to 0} \Big( \frac{ 3 \cdot(-3)} { (1-\frac{3}{n}) } \Big) \\ &=& \lim \limits_{x\to 0} \Big( \frac{ -9 } { (1-\frac{3}{n}) } \Big) \\ \ln(y) &=& \frac{ -9 } { 1-0 } \\ \ln(y) &=& -9 \\ e^{\ln(y)} = y &=& e^{-9}\\ y &=& \lim \limits_{x\to 0} {\Big( \left( 1- \frac{3}{n} \right)^{3n} \Big) }= e^{-9} \\ \hline \end{array}\)

 

 

\(\lim \limits_{x\to 0} {\Big( 3 \cdot \sqrt[n]{3n} \Big) } = \ ?\)

\(\begin{array}{|rcll|} \hline && \lim \limits_{x\to 0} {\Big( 3 \cdot \sqrt[n]{3n} \Big) } \\ &=& \lim \limits_{x\to 0} {\Big( 3 \cdot (3n)^{\frac{1}{n}} \Big) } \\ &=& \lim \limits_{x\to 0} {\Big( 3 \cdot e^{\ln \left((3n)^{\frac{1}{n}} \right) } \Big) } \\ &=& \lim \limits_{x\to 0} {\Big( 3 \cdot e^{ \frac{\ln(3n)} {n} } \Big) } \\ &=& 3 \cdot e^{ \lim \limits_{x\to 0} {\Big( \frac{\ln(3n)} {n} } \Big) } \\ && \text{Regel von de l’Hospital anwenden} \\ && \text{Die 1. Ableitung von } \frac{\ln(3n)} {n} \text{ lautet } \frac{ \frac{3}{3n} } {1} = \frac{3}{3n} = \frac{1}{n} \\\\ &=& 3 \cdot e^{ \lim \limits_{x\to 0} {\Big(\frac{1}{n}} \Big) } \\ &=& 3 \cdot e^0 \\ &=& 3 \cdot 1 \\ &=& 3 \\ \lim \limits_{x\to 0} {\Big( 3 \cdot \sqrt[n]{3n} \Big) } &=& 3 \\ \hline \end{array} \)

 

Somit erhalten wir insgesamt:

 

\(\lim \limits_{x\to 0} { \Big( \left( 1- \frac{3}{n} \right)^{3n} +3 \cdot \sqrt[n]{3n} \Big) } = e^{-9} + 3\)

 

laugh

heureka 21.07.2017
20.07.2017
19.07.2017
18.07.2017
17.07.2017
 #1
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0

Wozu braucht man Mathe?

 

Hallo Gast, hallo Cediwelli,

ich habe nach einer Antwort auf die Frage gesucht und eine wirklich gute Antwort gefunden.

 

Hier ist die Antwort von Cediwelli vom 7.7.2016

 

Hallo Gast!

 

Mathematik ist sehr wichtig für dich, für mich und für jeden anderen Menschen. 

 

Es gibt viele Leute, auch in meinem eigenen Kreis, die imemr wieder behaupten: "Ach, Mathematik brauche ich doch eh nie!" oder "Wozu brauche ich mehr als Plus und Minus?!"

 

Das ist natürlich absoluter Quatsch 

 

Wenn die Menschen sich nicht mit Mathematik befasst hätten, wären wir wohl nicht in der Lage auf dem technologischen Stand zu sein, auf dem wir jetzt sind. Das liegt daran, dass man ohne Mathematik zwar verstehen kann, wie etwas funktioniert, ohne Mathematik könnte man es aber nicht rekonstruieren, da man sonst kein Mittel hätte, es zu notieren und das fängt schon bei kleinen Dingen an, wie zum Beispiel das zusammenzählen von Äpfeln o.ä..

 

Ich habe einem Vorgänger, der gefragt hat, ob Mathematik ein von den Menschen erschaffenes Konstrukt sei geantwortet, dass ich und viele andere glauben, Mathematik ist die Übersetzung der Sprache in der die Natur spricht.

 

Die Natur gibt ein Gesetzt vor, dass man zwar auch in Worte fassen könnte, zum Beispiel: "Apfel fällt runter" oder so, aber erst durch Mathematik kann man richtig sagen, warum fällt dieser Apfel runter. Ohne Mathematik könntest du nur sagen, dass dieser sich so verhält, aber sobald du versuchst so aufzuschreiben, dass sich Faktoren, die zum Fallen beitragen verändern, kommen Variablen und somit wieder Mathematik ins Spiel.

 

Mathematik gibt es also, um alle Naturlichen aber auch unnatürlichen Phänomene zu beschreiben.

 

Man muss jedoch bedenken, dass Mathematik keine genaue Definition hat, da es sie in sehr vielen Bereichen gibt (Biologie, Physik, Chemie, Medizin, im Alltag...)

 

Mehr zur Mathematik findest du hier: https://de.wikipedia.org/wiki/Mathematik

 

Ich hoffe ich konnte dir helfen!

 

Grüße

 

Cediwelli

 

übermittelt von

laugh  !

asinus 17.07.2017
16.07.2017
 #3
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0

1. 4/15x2 1/7=

2. 14 21/27x2 5/38x1/42=

3. (3 4/15:7/8)x39/56=

4. 3 1/2x 2 3/7-2 5/8:3/4+2/3=

5. 3/4x4+5/8x3/9+27 1/2:16/17-4 1/6:2/9=

 

zu 1.

\(2\frac{1}{7}={\large \color{blue}\frac{7\cdot 2+1}{7}}=\frac{15}{7}\)

 

2.

\(\color{red}14\frac{21}{27} \times 2 \frac{5}{38}\times\frac{1}{42}\\ =\frac{14\times27+21}{27}\times\frac{2\times 38+5}{38}\times\frac{1}{42}\\ =\frac{399}{27}\times\frac{81}{38}\times\frac{1}{42}\\ =\frac{3\cdot7\cdot 19}{3^3} \times \frac{3^4}{2 \cdot 19} \times \frac{1}{2\cdot 3\cdot 7}\\ =\frac{3^5\cdot 7\cdot 19}{2^2\cdot 3^4\cdot7\cdot19}=\frac{3}{2^2}\\ \color{blue} =\frac{3}{4}\)

 

3.

\(\color{red}(3\frac{4}{15}:\frac{7}{8})\times\frac{39}{56}\\ =\frac{49}{15}\times\frac{8}{7}\times\frac{39}{56}\\ =\frac{7^2}{3\cdot 5}\times \frac{2^3}{7}\times \frac{3\cdot 13}{2^3\cdot 7}=\frac{13}{5}\\ \color{blue}=2\frac{3}{5}\)

 

4.

\({\color{red}3\frac{1}{2}\times 2\frac{3}{7}-2\frac{5}{8}:\frac{3}{4}+\frac{2}{3}}\\ =\frac{2\cdot 3+1}{2} \times \frac{2\cdot 7+3}{7}-\frac{2\cdot 8+5}{8} \times \frac{4}{3} +\frac{2}{3}\\ =\frac{7}{2} \times \frac{17}{7}-\frac{3\cdot 7}{2^3} \times \frac{2^2}{3}+\frac{2}{3} \\ =\frac{17}{2}-\frac{7}{2} +\frac{2}{3} \\ \color{blue}=5\frac{2}{3}\)

 

5.

\(\color{red}\frac{3}{4}\times 4+\frac{5}{8}\times\frac{3}{9}+27\frac{1}{2}:\frac{16}{17}-4\frac{1}{6}:\frac{2}{9}\\ =3+\frac{5}{24}+\frac{55}{2}\times\frac{17}{16}-\frac{25}{6}\times\frac{9}{2}\\ =\frac{144+10}{48}+\frac{935}{32}-\frac{225}{12}\\ =\frac{308}{96}+\frac{2805}{96} -\frac{1800}{96}\\ =\frac{1313}{96}\\ \color{blue}=13\frac{65}{96}\)

 

Habe mal nachgerechnet. Natürlich stimmt alles.

 

laugh  !

asinus 16.07.2017
15.07.2017
14.07.2017
13.07.2017
 #1
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Silence 13.07.2017
12.07.2017
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Gast12.07.2017
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Omi67 12.07.2017
11.07.2017
10.07.2017
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Gast10.07.2017

6 Benutzer online

 
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