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Mein Versuch:

y = R-1/2*sqrt(4R²-S²)      | -R | *(-1)

R-y = 1/2*sqrt(4R²-S²)      | *2

2(R-y) = sqrt(4R²-S²)        | ^²

4(R-y)² = (4R²-S²)

4(R²-2Ry+y²) = (4R²-S²)

4R²-8Ry+4y² = 4R²-S²    | -4R²

-8Ry+4y² = -S²                | *(-1)

8Ry-4y² = S²                   | ⁺- sqrt

⁺_- sqrt(8Ry-4y²) = S

Hallo Wickilif3a!

2.a) zwei Drittel von 162 €

\(162\ €\cdot\frac{2}{3}=\color{blue}108\ €\)

2.b) 24 % des Drittels von 162 €

\(\frac{162\ €}{3}\cdot \frac{24}{100}=\color{blue}12.96\ €\)

3. Wie hoch ist der Preis pro kg für dieses Fleisches?

\(2.8\ kg:18.06\ €=1\ kg:x\\ 2.8\ kg\cdot x=18,06\ €\cdot 1\ kg\ |\ /2.8\ kg\\ x=\frac{18,06\ €\cdot 1\ kg}{2.8\ kg}\\ x=\color{blue}6.45\ €\)

Der Preis pro kg für dieses Fleisch ist 6.45 €.

 !

Hi, Asinus!

Danke für deine Antwort! 😁

Hallo Wickilif3a!

\(g=27-5/3*4+22/46-35\\ g=27-\frac{5}{3}\cdot 4+\frac{22}{46}-35\\ g=\frac{27\cdot 3\cdot 46-5\cdot 46\cdot 4+22\cdot 3-35\cdot 3\cdot 46}{3\cdot 46}=-\frac{1958}{138}\\ g=-\frac{979}{69}\)

\(h=7-1/7+16/21\\ h=\frac{7\cdot 7\cdot 21-1\cdot 21+16\cdot 7}{7\cdot 21}\\ h=\frac{1029-21+112}{147}\\ h=\frac{1120}{147}\)

\(i=a+b/c=\frac{ac+b}{c}\)

\(j=p/3-5/2p\\ j=\frac{p}{3}-\frac{5}{2}\cdot p\\ j= \frac{p\cdot 2-5\cdot 3\cdot p}{3\cdot 2}\\ j=-\frac{13p}{6}\)

Eine Anleitung zur Fraktionenrechnung findest du unter dem Link.

Ist a Element der negativen reellen Zahlen, ist a < x < 0,

ist a Element der positiven reellen Zahlen, ist 0 < x < a.

Ich behaupte, meine Aussage ist richtig.

Ist x = a  ist die Ungleichung nicht erfüllt.

!

Ich setze beide Diagonalen gleich:

\(2(R+\overline{VC})=2(R+r+\overline{MB})\\ 2(R+R\sqrt{2})=2(R+r+r\sqrt{2})\\ 2R+2\sqrt{2}R=2R+2r+2\sqrt{2}r\\ 2\sqrt{2}R=r(2+2\sqrt{2})\\ r=R\cdot \frac{2\sqrt{2}}{2+2\sqrt{2}}\cdot \frac{2-2\sqrt{2}}{2-2\sqrt{2}}\\ r=R\cdot \frac{4\sqrt{2}-4\cdot 2}{4-4\cdot 2}=R\cdot \frac{4\sqrt{2}-4\cdot 2}{-4}\)

\(\color{blue}r=R\cdot(2-\sqrt{2})\\ q.e.d\)

Die Mittelpunkte der beiden größeren Kreise liegen auf der Winkelhalbierenden \(\overline{AC}\), die zugleich die Diagonale des Quadrats ist. Der Punkt T sei der Berührungspunkt des gegebenen Kreises um U mit der Seite \(\overline{AB}\). Da der Radius \(\overline{UT}\) senkrecht auf \(\overline{AB}\) steht, ist das Dreieck ATU zugleich gleichschenklig und rechtwinklig, und wegen des Satzes des Pythagoras folgt \(|\overline{AU}|=\sqrt{2}R\), der sich auch in \(|\overline{VC}|=\sqrt{2}R\) anwenden lässt; mithin ist

\(|\overline{AC}|=|\overline{AU}|+|\overline{UV}|+|\overline{VC}|=\sqrt{2}R+2R+\sqrt{2}R=2R+2\sqrt{2}R\).

Auf den Seiten \(\overline{AB} \) und \(\overline{BC} \) mögen N beziehungsweise P diejenigen Punkte sein, für die die Gerade PN die beiden größeren Kreise tangiert. Es ist PN parallel zur Diagonale \(\overline{AC}\), denn die gegebene Situation ist symmetrisch bezüglich Spiegelung an der anderen Diagonale des Quadrats.

Ferner sei ADEC das Rechteck, dessen Seite \(\overline{DE}\) man durch Verlängerung von \(\overline{PN}\) erhält. Schließlich seien M der Mittelpunkt und F der auf \(\overline{PN}\) gelegene Berührungspunkt des Innenkreises des Dreiecks BPN.

Da der Kreis mit Radius R um U seinen Mittelpunkt auf der Grundseite \(\overline{AC}\) des Rechtecks ADEC hat und die gegenüberliegende Seite berührt, ist die Höhe \(|\overline{AD}|=R\). Das Dreieck ADN ist zugleich gleichschenklig und rechtwinklig; insbesondere gilt für seine Katheten

\(|\overline{DN}|=|\overline{AD}|=R\),

und analog überlegt man sich, dass auch \(|\overline{PE}|=R\) gilt.

Da auch das Dreieck BPN zugleich gleichschenklig und rechtwinklig ist, muss F der Mittelpunkt seiner Hypotenuse sein, was \(|\overline{NF}|=|\overline{FP}|=|\overline{BF}|\)impliziert. Damit wird man auf eine zweite Formel für geführt, nämlich

\(|\overline{AC}|=|\overline{DE}|=|\overline{DN}|+|\overline{NF}|+|\overline{FP}|+|\overline{PE}|=2R+2|\overline{BF}|\).

Im Zusammenspiel mit (1) zeigt dies

\(|\overline{BF}|=\sqrt{2}R\).

Wegen

\(|\overline{BF}|=|\overline{BM}|+|\overline{MF}|=\sqrt{2}r+r=(\sqrt{2}+1)r\)

folgt hieraus

\(r=\frac{\sqrt{2}R}{\sqrt{2}+1}=\frac{\sqrt{2}(\sqrt{2}-1)R}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)}=(2-\sqrt{2})R\).

QED

\(R(1+2\sqrt{2})=r(2+2\sqrt{2})\\ r=R\cdot \frac{1+2\sqrt{2}}{2+2\sqrt{2}}\cdot \frac{2-2\sqrt{2}}{2-2\sqrt{2}} =R\cdot \frac{2-2\sqrt{2}+4 \sqrt{2}-8}{4-8}\\ r=R\cdot \frac{-6+2\sqrt{2}}{-4}\\ \color{blue}r=\frac{R}{2}\cdot (3-\sqrt{2})\)

!

Leider auch falsch! Bin etwas aus der Übung.

\(2R+2\sqrt{2}R=R+2r+2\sqrt{2}r\\ R+2\sqrt{2}R=2r+2\sqrt{2}r\\ R(1+2\sqrt{2})=r(2+2\sqrt{2})\\ \color{blue}r=0,792893218813\cdot R\\ 2-\sqrt{2}=0,585786...\\ \color{blue } !\ r\neq (2-\sqrt{2})R\ !\)

!

Da habe ich mich leider verrechnet. Sorry!

Ich hoffe, du hattest viel Spaß, diese Aufgabe zu lösen!

Kleine Anmerkung (ich skippe mal die Zwischenschritte ;)): Wenn a < 0, dann ist nur 2ax >= x^2 für x <= 0 erfüllbar. Daraus leitet man ab, dass | x | <=  | a | durch den negativen Wert x zu x >= a wird. Tatsächlich ist für die reellen Zahlen x mit a <= x <= 0 auch 2ax >= x^2 erfüllt, sodass die Radikanden beide nicht negativ sind, wenn a <= x <= 0 gilt.

Und ist a = 0, so erfüllt keine reelle Zahl x die oben genannte Ungleichung.

Dennoch danke!

Alle reellen Zahlen x in Abhängigkeit von der reellen Zahl a.

\(\color{black }\sqrt{a^2-x^2} + \sqrt{2ax - x^2} > a\)

Mit der Darstellung der Graphen der Funktionen 

\(\color{black}f_1(x)=\sqrt{a^2-x^2} + \sqrt{2ax - x^2} \)

und

\(\color{black}f_2(x)=a\)

und dem Einsetzen von reellen Zahlen in a ist als Lösung erkennbar:

LATEX spielt mal wieder verückt. Deshalb Text ohne Latex.

Ist a Element der negativen reellen Zahlen, ist a < x < 0,

ist a Element der positiven reellen Zahlen, ist 0 < x < a.

Leider ist mir die Darstellung der Graphen hier nicht möglich.

!

Die erste Ableitung \(f'(x)=\frac{2}{(x+1)^2}\) der Funktion \(f(x)=\frac{x-1}{x+1}\) ist

im Bereich \(\{-\ unendlich\ <\ x\ <\ -1\}\) streng monoton steigend,

im Bereich \(\{-1\ <\ x\ <\ unendlich\}\) streng monoton fallend.

Um zu beweisen, dass f'(x) auch im Bereich \(\{-1\ <\ x\ <\ 1\}\) streng monoton fallend ist, betrachten wir

die zweite Ableitung \(f''(x)=-\frac{4}{(x+1)^3}\) in diesem Bereich.

\(f(x)=\frac{x-1}{x+1}\\ {\color{blue}f'(x)}=\frac{u'v-uv'}{v^2}=\frac{1\cdot (x+1)-(x-1)\cdot 1}{(x+1)^2}=\color {blue}\frac{2}{(x+1)^2}\\ {\color{blue}f''(x)}=\frac{u'v-uv'}{v^2}=\frac{0-2\cdot 2\cdot (x+1)\cdot 1}{(x+1)^4}=\color{blue}-\frac{4}{(x+1)^3}\)

Der 2.0rechner bestätigt beim Einsetzen von Werten x des Bereiches \(\{-1\ <\ x\ <\ 1\}\) in die Funktion f''(x) mit den zugehörigen domain-Werten (alle negativ), dass f'(x) in diesem Bereich streng monoton fallend ist. 

Zum Begriff \(streng\ monoton\ steigend/fallend\) klicke den Link.

\((ax\cdot \frac{a}{x})^3\)

zuerst den Wert in Klammern berechnen

\(ax\cdot \frac{a}{x} | x\ k\ddot urzen,\ a\ multiplizieren\ \)

\(ax\cdot \frac{a}{x}=a^2\ \)

Danach Klammer potenzieren

\((a^2)^3=a^{2\cdot 3}=\color {blue}{a^6}\)

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Hallo dino286,

willkommen im Forum! Stelle deine Frage. Wir werden sehen, ob sie jemand beantworten kann.

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Die Dichte des Holzes beträgt ungefähr 850 kg/m³, basierend auf dem Archimedischen Prinzip und den gegebenen Werten für die Kantenlänge des Würfels und die Eintauchtiefe im Wasser.

Der Durchmesser der Messingkugel beträgt etwa 35,36 cm.

Wenn ich die Aufgabe richtig verstanden habe, dann sollte sie für (1) nicht lösbar sein, weil die einzige Lösung x=2,5 wäre, was keine ganze Zahl ist. Für (2) sollte die Gleichung lösbar sein, da 2,5 Teil der rationalen Zahlen ist.

primtime,vieleicht kann dir der Link ein wenig zu deinen Fragen helfen.

Gleichung lösen.

Hallo teez444!

\((2/3)*x^2+(4/5)*x=0\ |\ x\ ausklammern\\ x\cdot (2/3x+4/5)=0\ | \ Ist\ ein\ Produkt\ gleich\ 0, \\ kann\ jeder\ der Faktoren\ gleich\ 0\ sein.\ Also:\\ \color{blue}x=0\\ F\ddot uhre\ auf\ beiden\ Seiten\ der\ Gleichung\ aus,\\was\ hinter\ dem\ senkrechten\ Strich\ |steht.\\ \dfrac{2x}{3}+\dfrac{4}{5}=0\ |\ -\dfrac{4}{5}\\ \dfrac{2x}{3}=-\dfrac{4}{5}\ |\ \cdot 3\)

\(2x=-\dfrac{4\cdot 3}{5}\ |\ /2\\ x=-\dfrac{{\color{blue}4}\cdot 3}{5\cdot {\color{blue}2}}\ |\ k\ddot urzen\\ \color{blue}x=-\dfrac{6}{5}\\ \color{blue}x\in \{-\dfrac{6}{5};0\}\)

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\(p={\color{blue}\frac{490,5N}{cm^2}}\cdot \frac{Pa\cdot m^2}{N}\cdot \frac{10^4cm^2}{m^2}\color{blue}=4905000Pa\)

und

\(p={\color{blue}\frac{490,5N}{cm^2}}=4905000Pa\cdot \frac{bar}{10^5Pa}\color{blue}=49,05bar\)

und

\(p={\color{blue}\frac{490,5N}{cm^2}}=49,05bar\cdot \frac{1,02at}{bar}\color{blue}=50,031at\)

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negative zahlen bei addieren und subtrahieren

Hallo Gast!

Stehen negative Zahlen in einer Reihe mit den Rechenzeichen plus und minus, so sind die negativen Zahlen in Klammern  zu setzen.

Für diese Klammerausdrücke gilt: 

Steht ein + vor der Klammer, entfallen Rechenzeichen und Klammer Das Vorzeichen (-) der eingeklammerten Zahl wird zum Rechenzeichen.

Steht ein - vor der Klammer, entfällt die Klammer und das Rechenzeichen wird + , denn Minus x Minus = Plus.

Beispiel:

3 + 7 - 2 + (- 5) + 1 - (- 4) = 3 + 7 - 2 - 5 + 1 + 4 

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\(Nullstelle\ von -3t^2+48t-117\\\)

Hallo Gast!

Für die Nullstellen einer Quadratischen Gleichung existiert eine Lösungsformel.

Für die unbekannte Variable t heißt die Lösungsformel:

\(\color{blue}t = {-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a}\)

Für die Koefizienten des quadratischen und des linearen Gliedes der quadratischen Gleichung und für die Konstante wurden die Variablen a, b und c vereinbart. Ich habe sie an den entsprechenden Stellen unter die Funktionsgleichung geschrieben.

\(-3t^2+48t-117=0\)

  a          b         c

Die Vorzeichen der Koefizienten und der Konstanten gehören dazu. Es sind:

a = - 3

b = 48

c = - 117

Setze sie in die Lösungsformel ein. Das ergibt 2 Lösungen.

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Hallo Gast!

In einer Funktion f(x) ist jedem Wert der unabhängigen Variablen x ein Funktionswert y zugeordnet. Das heißt, wenn du in der Funktion f(x) für x eine Zahl einsetzt, kommt  ein y-Wert raus. 

Stelle so eine Wertetabelle auf, und übertrage die Wertepaare in ein x-y-Achsenkreuz, am besten auf Millimeterpapier. Falls du noch Fragen hast, melde dich bitte.

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6/7+2/3+22/7+5=

Hallo Gast!

Der kleinste gemeinsame Nenner ist bei deiner Aufgabe 3 * 7 = 21. 

Erweitere die Summanten auf den Nenner 21l.

\(\frac{6}{7}+\frac{2}{3}+\frac{22}{7}+5 =\frac{6\cdot 3}{7\cdot 3} +\frac{2\cdot 7}{3\cdot 7}+\frac{22\cdot 3}{7\cdot 3}+\frac{5\cdot 21}{1\cdot 21} =\frac{203}{21} =9\frac{14}{21}=\color{blue}9\frac{2}{3}\)

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Wie gross ist der Divisor?

Hallo Gast!

Im untenstehenden Link ist das meiste über die Grundrechenarten aufgeführt.

Hallo Gast!

Teile ich die Zahl 8,4 (den Dividenten) durch eine reelle Zahl (den Divisor), dann ist das Produkt des Ergebnisses  (des Quotienten) multipliziert mit der gewählten reellen Zahl (dem Divisor), gleich der Ausgangszahl 8,4 (dem Dividenten). Die gewählte reelle Zahl kann positiv oder negativ, gerade odr bebrochen sein. Wir wählen eine Zahl für eine einfache Lösung:

8,4 : 4 = 2,1

2,1 * 4 = 8,4 

Das ist eine Multiplikation, deren Produkt 8,4 ist.

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Wie alt bin ich jetzt?

Hallo Gast!

"Als mein Vater 35 jahre alt war, war ich 8." 

Dein Vater ist (35 - 8) Jahre, also 27 Jahre älter als du.

Das ist er sein ganzes Leben lang, also auch zum Zeitpunkt, an dem er doppelt so alt ist als du.

Dort  sei dein Alter x Jahre. Dann gilt:

\(2x=x+27Jahre\ |-x\\ \color{blue}x=27 Jahre\)

Ergebnis:

Du bist 27 Jahre alt, wenn dein Vater doppelt so alt ist als du. Da ist er 54.

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Beim ersten Bruch ist der Zähler kleiner als der Nenner, die Zahl ist also kleiner als 1.

Beim 2ten Bruch ist der Zähler größer als der Nenner, somit ist die Zahl größer als 1.

So kann man das auf einen Blick erkennen.

Baukostenrechnung

Hallo Gast!

Zuerst berechnen wir die Baukosten Betonwand.

1. Kosten Betonmasse

\({\color{blue}V}=2,50m\cdot2,00m\cdot 0,30m=\color{blue}1,5m^3\)

\({\color{blue}K_{Masse}}=2,50m\cdot2,00m\cdot 0,30m\cdot 150€\ /\ m^3=\color{blue}225€\)

2. Lohnkosten

\({\color{blue}K_{Lohn}}=1,5m^3\cdot 39,00€=\color{blue}58,50€\)

3. Die Betonwand kostet

\({\color{blue}K_{Bau}}=K_{Masse}+K_{Lohn}=225€+58,50€=\color{blue}283,50€\)

Nun ist ja der Preis pro überbauten Quadratmeter angefragt.

Deshalb teilen wir die Baukosten durch die Grundfläche der Betonwand.

\({\color{blue}Grundfl\ddot ache}=Volumen / H\ddot ohe =1,5m^3/2,50m=\color{blue}0,60m^2 \\ {\color{blue}P/m^2}=K_{Bau }/Grundfl\ddot ache=283,50€/0,60m^2=\color{blue}472,5€/m^2\)

Facit

Prismatische Betonbauwerke der Bauhöhe 2,50m kosten 472,50€/m².

Ich hoffe, ich konnte dir helfen. Melde dich mal.

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Hallo Gast!

Zuerst rechnest du, wieviel ein cm des Stahlrohres wiegt (dividieren). Dann rechnest du die neue Länge aus (subtrahieren). Dann multiplizierst du das Zentimetergewicht mit der neuen Länge des Stahlrohres.

285cm wiegen 4275kg.

\(\frac{4275kg}{285cm}\cdot (285cm-85cm)=\color{blue}3000kg\)

Das um 85cm gekürzte Rohr wiegt 3000kg.

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Wenn in 100 g Schokoriegel 51 g Kohlenhydrate sind, dann sind in 10 g 5,1 und in einem Gramm 0,51 g Kohlenhydrate
0,51 x 40 = 20,4

also

51 : 100 x 40 = 20,4

Was hoch 2 ist = 0.1?

Hallo Gast!

Du musst auf beiden Seiten der Gleichung die Quadratwurzel ziehen, Also:

\(x^2=0,1\\ \sqrt{x^2}=\pm \sqrt{0,1}\\ x\in \{-0,3162;0,3162\}\)

Die Gleichung hat zwei Ergebnisse.

Wenn du fragst, was hoch 2 ist = 0,1, musst du  \(\pm\) vor das Wurtelzeichen setzen,

denn beide Lösungselemente hoch  2 ergeben 0,1.

Wenn du fragst, was ist die Wurzel aus 9, ist die Antwort 3...Hier gillt die absolute Zahl.